Cálculo Exemplos

$x^{4} - 12 x^{3} + 48 x^{2} - 64 x$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Diferencie.

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Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - 12 x^{3} + 48 x^{2} - 64 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Como $- 12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 12 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$4 x^{3} - 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $3$ por $- 12$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [48 x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $48$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $48 x^{2}$ em relação a $x$ é $48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 48 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 48 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $2$ por $48$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Etapa 1.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 64 x]$ .

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Etapa 1.1.4.1

Como $- 64$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 64 x$ em relação a $x$ é $- 64 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 \cdot 1$

Etapa 1.1.4.3

Multiplique $- 64$ por $1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 = 0$

Etapa 2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.2.1

Fatore $4$ de $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$ .

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Etapa 2.2.1.1

Fatore $4$ de $4 x^{3}$ .

$4 (x^{3}) - 36 x^{2} + 96 x - 64 = 0$

Etapa 2.2.1.2

Fatore $4$ de $- 36 x^{2}$ .

$4 (x^{3}) + 4 (- 9 x^{2}) + 96 x - 64 = 0$

Etapa 2.2.1.3

Fatore $4$ de $96 x$ .

$4 (x^{3}) + 4 (- 9 x^{2}) + 4 (24 x) - 64 = 0$

Etapa 2.2.1.4

Fatore $4$ de $- 64$ .

$4 x^{3} + 4 (- 9 x^{2}) + 4 (24 x) + 4 \cdot - 16 = 0$

Etapa 2.2.1.5

Fatore $4$ de $4 x^{3} + 4 (- 9 x^{2})$ .

$4 (x^{3} - 9 x^{2}) + 4 (24 x) + 4 \cdot - 16 = 0$

Etapa 2.2.1.6

Fatore $4$ de $4 (x^{3} - 9 x^{2}) + 4 (24 x)$ .

$4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x) + 4 \cdot - 16 = 0$

Etapa 2.2.1.7

Fatore $4$ de $4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x) + 4 \cdot - 16$ .

$4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16) = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 2.2.2.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

$q = \pm 1$

Etapa 2.2.2.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

Etapa 2.2.2.3

Substitua $1$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $1$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 2.2.2.3.1

Substitua $1$ no polinômio.

$1^{3} - 9 \cdot 1^{2} + 24 \cdot 1 - 16$

Etapa 2.2.2.3.2

Eleve $1$ à potência de $3$ .

$1 - 9 \cdot 1^{2} + 24 \cdot 1 - 16$

Etapa 2.2.2.3.3

Eleve $1$ à potência de $2$ .

$1 - 9 \cdot 1 + 24 \cdot 1 - 16$

Etapa 2.2.2.3.4

Multiplique $- 9$ por $1$ .

$1 - 9 + 24 \cdot 1 - 16$

Etapa 2.2.2.3.5

Subtraia $9$ de $1$ .

$- 8 + 24 \cdot 1 - 16$

Etapa 2.2.2.3.6

Multiplique $24$ por $1$ .

$- 8 + 24 - 16$

Etapa 2.2.2.3.7

Some $- 8$ e $24$ .

$16 - 16$

Etapa 2.2.2.3.8

Subtraia $16$ de $16$ .

$0$

Etapa 2.2.2.4

Como $1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16}{x - 1}$

Etapa 2.2.2.5

Divida $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16$ por $x - 1$ .

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Etapa 2.2.2.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$24 x$

$16$

Etapa 2.2.2.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$

Etapa 2.2.2.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Etapa 2.2.2.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} - x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Etapa 2.2.2.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$

Etapa 2.2.2.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$

Etapa 2.2.2.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 8 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$

Etapa 2.2.2.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$8 x$

Etapa 2.2.2.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 8 x^{2} + 8 x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$

Etapa 2.2.2.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$

Etapa 2.2.2.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	-	$16$

Etapa 2.2.2.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $16 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	-	$16$

Etapa 2.2.2.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	-	$16$
							+	$16 x$	-	$16$

Etapa 2.2.2.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $16 x - 16$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	-	$16$
							-	$16 x$	+	$16$

Etapa 2.2.2.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	-	$16$
							-	$16 x$	+	$16$
										$0$

Etapa 2.2.2.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{2} - 8 x + 16$

Etapa 2.2.2.6

Escreva $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16$ como um conjunto de fatores.

$4 ((x - 1) (x^{2} - 8 x + 16)) = 0$

Etapa 2.2.3

Fatore.

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Etapa 2.2.3.1

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 2.2.3.1.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$4 ((x - 1) (x^{2} - 8 x + 4^{2})) = 0$

Etapa 2.2.3.1.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Etapa 2.2.3.1.3

Reescreva o polinômio.

$4 ((x - 1) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2})) = 0$

Etapa 2.2.3.1.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 4$ .

$4 ((x - 1) {(x - 4)}^{2}) = 0$

Etapa 2.2.3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$4 (x - 1) {(x - 4)}^{2} = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

${(x - 4)}^{2} = 0$

Etapa 2.4

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 2.4.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 2.5

Defina ${(x - 4)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina ${(x - 4)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x - 4)}^{2} = 0$

Etapa 2.5.2

Resolva ${(x - 4)}^{2} = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.5.2.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 2.5.2.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $4 (x - 1) {(x - 4)}^{2} = 0$ verdadeiro.

$x = 1, 4$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 4

Avalie $x^{4} - 12 x^{3} + 48 x^{2} - 64 x$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = 1$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $1$ por $x$ .

${(1)}^{4} - 12 {(1)}^{3} + 48 {(1)}^{2} - 64 \cdot 1$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 - 12 {(1)}^{3} + 48 {(1)}^{2} - 64 \cdot 1$

Etapa 4.1.2.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 - 12 \cdot 1 + 48 {(1)}^{2} - 64 \cdot 1$

Etapa 4.1.2.1.3

Multiplique $- 12$ por $1$ .

$1 - 12 + 48 {(1)}^{2} - 64 \cdot 1$

Etapa 4.1.2.1.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 - 12 + 48 \cdot 1 - 64 \cdot 1$

Etapa 4.1.2.1.5

Multiplique $48$ por $1$ .

$1 - 12 + 48 - 64 \cdot 1$

Etapa 4.1.2.1.6

Multiplique $- 64$ por $1$ .

$1 - 12 + 48 - 64$

Etapa 4.1.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 4.1.2.2.1

Subtraia $12$ de $1$ .

$- 11 + 48 - 64$

Etapa 4.1.2.2.2

Some $- 11$ e $48$ .

$37 - 64$

Etapa 4.1.2.2.3

Subtraia $64$ de $37$ .

$- 27$

Etapa 4.2

Avalie em $x = 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Substitua $4$ por $x$ .

${(4)}^{4} - 12 {(4)}^{3} + 48 {(4)}^{2} - 64 \cdot 4$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1

Eleve $4$ à potência de $4$ .

$256 - 12 {(4)}^{3} + 48 {(4)}^{2} - 64 \cdot 4$

Etapa 4.2.2.1.2

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$256 - 12 \cdot 64 + 48 {(4)}^{2} - 64 \cdot 4$

Etapa 4.2.2.1.3

Multiplique $- 12$ por $64$ .

$256 - 768 + 48 {(4)}^{2} - 64 \cdot 4$

Etapa 4.2.2.1.4

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$256 - 768 + 48 \cdot 16 - 64 \cdot 4$

Etapa 4.2.2.1.5

Multiplique $48$ por $16$ .

$256 - 768 + 768 - 64 \cdot 4$

Etapa 4.2.2.1.6

Multiplique $- 64$ por $4$ .

$256 - 768 + 768 - 256$

Etapa 4.2.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.2.1

Subtraia $768$ de $256$ .

$- 512 + 768 - 256$

Etapa 4.2.2.2.2

Some $- 512$ e $768$ .

$256 - 256$

Etapa 4.2.2.2.3

Subtraia $256$ de $256$ .

$0$

Etapa 4.3

Liste todos os pontos.

$(1, - 27), (4, 0)$

Etapa 5