Cálculo Exemplos

$10 \sec (x) + 5 \tan (x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $10 \sec (x) + 5 \tan (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [10 \sec (x)] + \frac{d}{d x} [5 \tan (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [10 \sec (x)] + \frac{d}{d x} [5 \tan (x)]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [10 \sec (x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Como $10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $10 \sec (x)$ em relação a $x$ é $10 \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$10 \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [5 \tan (x)]$

Etapa 1.1.2.2

A derivada de $\sec (x)$ em relação a $x$ é $\sec (x) \tan (x)$ .

$10 \sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [5 \tan (x)]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [5 \tan (x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 \tan (x)$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$10 \sec (x) \tan (x) + 5 \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Etapa 1.1.3.2

A derivada de $\tan (x)$ em relação a $x$ é $\sec^{2} (x)$ .

$f' (x) = 10 \sec (x) \tan (x) + 5 \sec^{2} (x)$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $10 \sec (x) \tan (x) + 5 \sec^{2} (x)$ .

$10 \sec (x) \tan (x) + 5 \sec^{2} (x)$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $10 \sec (x) \tan (x) + 5 \sec^{2} (x) = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$10 \sec (x) \tan (x) + 5 \sec^{2} (x) = 0$

Etapa 2.2

Represente cada lado da equação em um gráfico. A solução é o valor x do ponto de intersecção.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina o argumento em $\sec (x)$ como igual a $\frac{π}{2} + π n$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3.2

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

${x | x = \frac{π}{2} + π n}$ $n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4

Avalie $10 \sec (x) + 5 \tan (x)$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Avalie em $x = \frac{7 π}{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua $\frac{7 π}{6}$ por $x$ .

$10 \sec (\frac{7 π}{6}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois a secante é negativa no terceiro quadrante.

$10 (- \sec (\frac{π}{6})) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Etapa 4.1.2.1.2

O valor exato de $\sec (\frac{π}{6})$ é $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

$10 (- \frac{2}{\sqrt{3}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Etapa 4.1.2.1.3

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$10 (- (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Etapa 4.1.2.1.4

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.4.1

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Etapa 4.1.2.1.4.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Etapa 4.1.2.1.4.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Etapa 4.1.2.1.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Etapa 4.1.2.1.4.5

Some $1$ e $1$ .

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Etapa 4.1.2.1.4.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Etapa 4.1.2.1.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Etapa 4.1.2.1.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Etapa 4.1.2.1.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Etapa 4.1.2.1.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Etapa 4.1.2.1.4.6.5

Avalie o expoente.

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Etapa 4.1.2.1.5

Multiplique $10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.5.1

Multiplique $- 1$ por $10$ .

$- 10 \frac{2 \sqrt{3}}{3} + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Etapa 4.1.2.1.5.2

Combine $- 10$ e $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{- 10 (2 \sqrt{3})}{3} + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Etapa 4.1.2.1.5.3

Multiplique $2$ por $- 10$ .

$\frac{- 20 \sqrt{3}}{3} + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Etapa 4.1.2.1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{20 \sqrt{3}}{3} + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Etapa 4.1.2.1.7

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$- \frac{20 \sqrt{3}}{3} + 5 \tan (\frac{π}{6})$

Etapa 4.1.2.1.8

O valor exato de $\tan (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{20 \sqrt{3}}{3} + 5 \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 4.1.2.1.9

Combine $5$ e $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{20 \sqrt{3}}{3} + \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 4.1.2.2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 20 \sqrt{3} + 5 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 4.1.2.2.2

Some $- 20 \sqrt{3}$ e $5 \sqrt{3}$ .

$\frac{- 15 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 4.1.2.2.3

Cancele o fator comum de $- 15$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.2.3.1

Fatore $3$ de $- 15 \sqrt{3}$ .

$\frac{3 (- 5 \sqrt{3})}{3}$

Etapa 4.1.2.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.2.3.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{3 (- 5 \sqrt{3})}{3 (1)}$

Etapa 4.1.2.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (- 5 \sqrt{3})}{3 \cdot 1}$

Etapa 4.1.2.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 5 \sqrt{3}}{1}$

Etapa 4.1.2.2.3.2.4

Divida $- 5 \sqrt{3}$ por $1$ .

$- 5 \sqrt{3}$

Etapa 4.2

Avalie em $x = \frac{11 π}{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Substitua $\frac{11 π}{6}$ por $x$ .

$10 \sec (\frac{11 π}{6}) + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$10 \sec (\frac{π}{6}) + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Etapa 4.2.2.1.2

O valor exato de $\sec (\frac{π}{6})$ é $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

$10 \frac{2}{\sqrt{3}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Etapa 4.2.2.1.3

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$10 (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}) + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Etapa 4.2.2.1.4

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.4.1

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Etapa 4.2.2.1.4.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Etapa 4.2.2.1.4.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Etapa 4.2.2.1.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Etapa 4.2.2.1.4.5

Some $1$ e $1$ .

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Etapa 4.2.2.1.4.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Etapa 4.2.2.1.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Etapa 4.2.2.1.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Etapa 4.2.2.1.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Etapa 4.2.2.1.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Etapa 4.2.2.1.4.6.5

Avalie o expoente.

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{3} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Etapa 4.2.2.1.5

Multiplique $10 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.5.1

Combine $10$ e $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{10 (2 \sqrt{3})}{3} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Etapa 4.2.2.1.5.2

Multiplique $2$ por $10$ .

$\frac{20 \sqrt{3}}{3} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Etapa 4.2.2.1.6

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois a tangente é negativa no quarto quadrante.

$\frac{20 \sqrt{3}}{3} + 5 (- \tan (\frac{π}{6}))$

Etapa 4.2.2.1.7

O valor exato de $\tan (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{20 \sqrt{3}}{3} + 5 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Etapa 4.2.2.1.8

Multiplique $5 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.8.1

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$\frac{20 \sqrt{3}}{3} - 5 \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 4.2.2.1.8.2

Combine $- 5$ e $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{20 \sqrt{3}}{3} + \frac{- 5 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 4.2.2.1.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{20 \sqrt{3}}{3} - \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 4.2.2.2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{20 \sqrt{3} - 5 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 4.2.2.2.2

Subtraia $5 \sqrt{3}$ de $20 \sqrt{3}$ .

$\frac{15 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 4.2.2.2.3

Cancele o fator comum de $15$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.2.3.1

Fatore $3$ de $15 \sqrt{3}$ .

$\frac{3 (5 \sqrt{3})}{3}$

Etapa 4.2.2.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.2.3.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{3 (5 \sqrt{3})}{3 (1)}$

Etapa 4.2.2.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (5 \sqrt{3})}{3 \cdot 1}$

Etapa 4.2.2.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{5 \sqrt{3}}{1}$

Etapa 4.2.2.2.3.2.4

Divida $5 \sqrt{3}$ por $1$ .

$5 \sqrt{3}$

Etapa 4.3

Liste todos os pontos.

$(\frac{7 π}{6} + 2 π n, - 5 \sqrt{3}), (\frac{11 π}{6} + 2 π n, 5 \sqrt{3})$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5