Cálculo Exemplos

$16 x + 2 x^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $16 x + 2 x^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [2 x^{- \frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [2 x^{- \frac{1}{2}}]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [16 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Como $16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $16 x$ em relação a $x$ é $16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$16 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x^{- \frac{1}{2}}]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 x^{- \frac{1}{2}}]$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $16$ por $1$ .

$16 + \frac{d}{d x} [2 x^{- \frac{1}{2}}]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{- \frac{1}{2}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{- \frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$ .

$16 + 2 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - \frac{1}{2}$ .

$16 + 2 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

Etapa 1.1.3.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$16 + 2 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Etapa 1.1.3.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$16 + 2 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 1.1.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$16 + 2 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 1.1.3.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$16 + 2 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

Etapa 1.1.3.6.2

Subtraia $2$ de $- 1$ .

$16 + 2 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

Etapa 1.1.3.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$16 + 2 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

Etapa 1.1.3.8

Combine $x^{- \frac{3}{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$16 + 2 (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Etapa 1.1.3.9

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$16 - 2 \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

Etapa 1.1.3.10

Combine $- 2$ e $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ .

$16 + \frac{- 2 x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

Etapa 1.1.3.11

Mova $x^{- \frac{3}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$16 + \frac{- 2}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.1.3.12

Fatore $2$ de $- 2$ .

$16 + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.1.3.13

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.13.1

Fatore $2$ de $2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$16 + \frac{2 \cdot - 1}{2 (x^{\frac{3}{2}})}$

Etapa 1.1.3.13.2

Cancele o fator comum.

$16 + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.1.3.13.3

Reescreva a expressão.

$16 + \frac{- 1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.1.3.14

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = 16 - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $16 - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

$16 - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $16 - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$16 - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} = 0$

Etapa 2.2

Subtraia $16$ dos dois lados da equação.

$- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} = - 16$

Etapa 2.3

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$x^{\frac{3}{2}}, 1$

Etapa 2.3.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$x^{\frac{3}{2}}$

Etapa 2.4

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} = - 16$ por $x^{\frac{3}{2}}$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} = - 16$ por $x^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} x^{\frac{3}{2}} = - 16 x^{\frac{3}{2}}$

Etapa 2.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Cancele o fator comum de $x^{\frac{3}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ para o numerador.

$\frac{- 1}{x^{\frac{3}{2}}} x^{\frac{3}{2}} = - 16 x^{\frac{3}{2}}$

Etapa 2.4.2.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1}{x^{\frac{3}{2}}} x^{\frac{3}{2}} = - 16 x^{\frac{3}{2}}$

Etapa 2.4.2.1.3

Reescreva a expressão.

$- 1 = - 16 x^{\frac{3}{2}}$

Etapa 2.5

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Reescreva a equação como $- 16 x^{\frac{3}{2}} = - 1$ .

$- 16 x^{\frac{3}{2}} = - 1$

Etapa 2.5.2

Divida cada termo em $- 16 x^{\frac{3}{2}} = - 1$ por $- 16$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1

Divida cada termo em $- 16 x^{\frac{3}{2}} = - 1$ por $- 16$ .

$\frac{- 16 x^{\frac{3}{2}}}{- 16} = \frac{- 1}{- 16}$

Etapa 2.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 16 x^{\frac{3}{2}}}{- 16} = \frac{- 1}{- 16}$

Etapa 2.5.2.2.2

Divida $x^{\frac{3}{2}}$ por $1$ .

$x^{\frac{3}{2}} = \frac{- 1}{- 16}$

Etapa 2.5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.5.2.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$x^{\frac{3}{2}} = \frac{1}{16}$

Etapa 2.5.3

Eleve cada lado da equação à potência de $\frac{2}{3}$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = {(\frac{1}{16})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 2.5.4

Simplifique o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.4.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.4.1.1

Simplifique ${(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.4.1.1.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.4.1.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = {(\frac{1}{16})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 2.5.4.1.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.4.1.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = {(\frac{1}{16})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 2.5.4.1.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{1}{16})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 2.5.4.1.1.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.4.1.1.1.3.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{1}{16})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 2.5.4.1.1.1.3.2

Reescreva a expressão.

$x^{1} = {(\frac{1}{16})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 2.5.4.1.1.2

Simplifique.

$x = {(\frac{1}{16})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 2.5.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.4.2.1

Simplifique ${(\frac{1}{16})}^{\frac{2}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.4.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{16}$ .

$x = \frac{1^{\frac{2}{3}}}{16^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.5.4.2.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$x = \frac{1}{16^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$16 - \frac{1}{\sqrt{x^{3}}}$

Etapa 3.2

Defina o denominador em $\frac{1}{\sqrt{x^{3}}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$\sqrt{x^{3}} = 0$

Etapa 3.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{x^{3}}}^{2} = 0^{2}$

Etapa 3.3.2

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x^{3}}$ como $x^{\frac{3}{2}}$ .

${(x^{\frac{3}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 3.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 3.3.2.2.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 3.3.2.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{3} = 0^{2}$

Etapa 3.3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$x^{3} = 0$

Etapa 3.3.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \sqrt[3]{0}$

Etapa 3.3.3.2

Simplifique $\sqrt[3]{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.1

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Etapa 3.3.3.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$x = 0$

Etapa 3.4

Defina o radicando em $\sqrt{x^{3}}$ como menor do que $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{3} < 0$

Etapa 3.5

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da desigualdade para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$\sqrt[3]{x^{3}} < \sqrt[3]{0}$

Etapa 3.5.2

Simplifique a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1.1

Elimine os termos abaixo do radical.

$x < \sqrt[3]{0}$

Etapa 3.5.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.2.1

Simplifique $\sqrt[3]{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.2.1.1

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$x < \sqrt[3]{0^{3}}$

Etapa 3.5.2.2.1.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$x < 0$

Etapa 3.6

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Etapa 4

Avalie $16 x + 2 x^{- \frac{1}{2}}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = \frac{1}{16^{\frac{2}{3}}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua $\frac{1}{16^{\frac{2}{3}}}$ por $x$ .

$16 (\frac{1}{16^{\frac{2}{3}}}) + 2 {(\frac{1}{16^{\frac{2}{3}}})}^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 4.1.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Combine $16$ e $\frac{1}{16^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{16}{16^{\frac{2}{3}}} + 2 {(\frac{1}{16^{\frac{2}{3}}})}^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 4.1.2.2

Mova $16^{\frac{2}{3}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$16 \cdot 16^{- \frac{2}{3}} + 2 {(\frac{1}{16^{\frac{2}{3}}})}^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $16$ por $16^{- \frac{2}{3}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.3.1

Multiplique $16$ por $16^{- \frac{2}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.3.1.1

Eleve $16$ à potência de $1$ .

$16^{1} \cdot 16^{- \frac{2}{3}} + 2 {(\frac{1}{16^{\frac{2}{3}}})}^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 4.1.2.3.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$16^{1 - \frac{2}{3}} + 2 {(\frac{1}{16^{\frac{2}{3}}})}^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 4.1.2.3.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$16^{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}} + 2 {(\frac{1}{16^{\frac{2}{3}}})}^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 4.1.2.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$16^{\frac{3 - 2}{3}} + 2 {(\frac{1}{16^{\frac{2}{3}}})}^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 4.1.2.3.4

Subtraia $2$ de $3$ .

$16^{\frac{1}{3}} + 2 {(\frac{1}{16^{\frac{2}{3}}})}^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 4.1.2.4

Altere o sinal do expoente reescrevendo a base como seu inverso.

$16^{\frac{1}{3}} + 2 {(16^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 4.1.2.5

Multiplique os expoentes em ${(16^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16^{\frac{1}{3}} + 2 \cdot 16^{\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}}$

Etapa 4.1.2.5.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.5.2.1

Cancele o fator comum.

$16^{\frac{1}{3}} + 2 \cdot 16^{\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}}$

Etapa 4.1.2.5.2.2

Reescreva a expressão.

$16^{\frac{1}{3}} + 2 \cdot 16^{\frac{1}{3}}$

Etapa 4.1.2.6

Multiplique $2 \cdot 16^{\frac{1}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.6.1

Reescreva $16$ como $2^{4}$ .

$16^{\frac{1}{3}} + 2 \cdot {(2^{4})}^{\frac{1}{3}}$

Etapa 4.1.2.6.2

Multiplique os expoentes em ${(2^{4})}^{\frac{1}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.6.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16^{\frac{1}{3}} + 2 \cdot 2^{4 (\frac{1}{3})}$

Etapa 4.1.2.6.2.2

Combine $4$ e $\frac{1}{3}$ .

$16^{\frac{1}{3}} + 2 \cdot 2^{\frac{4}{3}}$

Etapa 4.1.2.6.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$16^{\frac{1}{3}} + 2^{1 + \frac{4}{3}}$

Etapa 4.1.2.6.4

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$16^{\frac{1}{3}} + 2^{\frac{3}{3} + \frac{4}{3}}$

Etapa 4.1.2.6.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$16^{\frac{1}{3}} + 2^{\frac{3 + 4}{3}}$

Etapa 4.1.2.6.6

Some $3$ e $4$ .

$16^{\frac{1}{3}} + 2^{\frac{7}{3}}$

Etapa 4.2

Avalie em $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Substitua $0$ por $x$ .

$16 (0) + 2 {(0)}^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1

Multiplique $16$ por $0$ .

$0 + 2 {(0)}^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 4.2.2.1.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + 2 \frac{1}{0^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.2.2.1.3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.3.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$0 + 2 \frac{1}{{(0^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.2.2.1.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 + 2 \frac{1}{0^{2 (\frac{1}{2})}}$

Etapa 4.2.2.1.3.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.3.3.1

Cancele o fator comum.

$0 + 2 \frac{1}{0^{2 (\frac{1}{2})}}$

Etapa 4.2.2.1.3.3.2

Reescreva a expressão.

$0 + 2 \frac{1}{0^{1}}$

Etapa 4.2.2.1.3.4

Avalie o expoente.

$0 + 2 (\frac{1}{0})$

Etapa 4.2.2.1.3.5

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$0 + 2 (\frac{1}{0})$

Etapa 4.2.2.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$0 + 2 (\frac{1}{0})$

Etapa 4.2.2.2

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 4.3

Liste todos os pontos.

$(\frac{1}{16^{\frac{2}{3}}}, 16^{\frac{1}{3}} + 2^{\frac{7}{3}})$

Etapa 5