Cálculo Exemplos

$12 x^{3} - 9 x^{2} - 108 x + 1$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $12 x^{3} - 9 x^{2} - 108 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 108 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 108 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12 x^{3}$ em relação a $x$ é $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 108 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 108 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $3$ por $12$ .

$36 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 108 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$36 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 108 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$36 x^{2} - 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 108 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 9$ .

$36 x^{2} - 18 x + \frac{d}{d x} [- 108 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 108 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.1

Como $- 108$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 108 x$ em relação a $x$ é $- 108 \frac{d}{d x} [x]$ .

$36 x^{2} - 18 x - 108 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$36 x^{2} - 18 x - 108 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.4.3

Multiplique $- 108$ por $1$ .

$36 x^{2} - 18 x - 108 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.5

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$36 x^{2} - 18 x - 108 + 0$

Etapa 1.1.5.2

Some $36 x^{2} - 18 x - 108$ e $0$ .

$f' (x) = 36 x^{2} - 18 x - 108$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $36 x^{2} - 18 x - 108$ .

$36 x^{2} - 18 x - 108$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $36 x^{2} - 18 x - 108 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$36 x^{2} - 18 x - 108 = 0$

Etapa 2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Fatore $18$ de $36 x^{2} - 18 x - 108$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Fatore $18$ de $36 x^{2}$ .

$18 (2 x^{2}) - 18 x - 108 = 0$

Etapa 2.2.1.2

Fatore $18$ de $- 18 x$ .

$18 (2 x^{2}) + 18 (- x) - 108 = 0$

Etapa 2.2.1.3

Fatore $18$ de $- 108$ .

$18 (2 x^{2}) + 18 (- x) + 18 (- 6) = 0$

Etapa 2.2.1.4

Fatore $18$ de $18 (2 x^{2}) + 18 (- x)$ .

$18 (2 x^{2} - x) + 18 (- 6) = 0$

Etapa 2.2.1.5

Fatore $18$ de $18 (2 x^{2} - x) + 18 (- 6)$ .

$18 (2 x^{2} - x - 6) = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot - 6 = - 12$ e cuja soma é $b = - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1.1

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$18 (2 x^{2} - (x) - 6) = 0$

Etapa 2.2.2.1.1.2

Reescreva $- 1$ como $3$ mais $- 4$

$18 (2 x^{2} + (3 - 4) x - 6) = 0$

Etapa 2.2.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$18 (2 x^{2} + 3 x - 4 x - 6) = 0$

Etapa 2.2.2.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$18 ((2 x^{2} + 3 x) - 4 x - 6) = 0$

Etapa 2.2.2.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$18 (x (2 x + 3) - 2 (2 x + 3)) = 0$

Etapa 2.2.2.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 x + 3$ .

$18 ((2 x + 3) (x - 2)) = 0$

Etapa 2.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$18 (2 x + 3) (x - 2) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2 x + 3 = 0$

$x - 2 = 0$

Etapa 2.4

Defina $2 x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Defina $2 x + 3$ como igual a $0$ .

$2 x + 3 = 0$

Etapa 2.4.2

Resolva $2 x + 3 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$2 x = - 3$

Etapa 2.4.2.2

Divida cada termo em $2 x = - 3$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = - 3$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Etapa 2.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Etapa 2.4.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Etapa 2.4.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{3}{2}$

Etapa 2.5

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 2.5.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $18 (2 x + 3) (x - 2) = 0$ verdadeiro.

$x = - \frac{3}{2}, 2$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 4

Avalie $12 x^{3} - 9 x^{2} - 108 x + 1$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Avalie em $x = - \frac{3}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua $- \frac{3}{2}$ por $x$ .

$12 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 108 (- \frac{3}{2}) + 1$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{3}{2}$ .

$12 ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3}) - 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 108 (- \frac{3}{2}) + 1$

Etapa 4.1.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{3}{2}$ .

$12 ({(- 1)}^{3} \frac{3^{3}}{2^{3}}) - 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 108 (- \frac{3}{2}) + 1$

Etapa 4.1.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$12 (- \frac{3^{3}}{2^{3}}) - 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 108 (- \frac{3}{2}) + 1$

Etapa 4.1.2.1.3

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$12 (- \frac{27}{2^{3}}) - 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 108 (- \frac{3}{2}) + 1$

Etapa 4.1.2.1.4

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$12 (- \frac{27}{8}) - 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 108 (- \frac{3}{2}) + 1$

Etapa 4.1.2.1.5

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.5.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{27}{8}$ para o numerador.

$12 (\frac{- 27}{8}) - 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 108 (- \frac{3}{2}) + 1$

Etapa 4.1.2.1.5.2

Fatore $4$ de $12$ .

$4 (3) \frac{- 27}{8} - 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 108 (- \frac{3}{2}) + 1$

Etapa 4.1.2.1.5.3

Fatore $4$ de $8$ .

$4 \cdot 3 \frac{- 27}{4 \cdot 2} - 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 108 (- \frac{3}{2}) + 1$

Etapa 4.1.2.1.5.4

Cancele o fator comum.

$4 \cdot 3 \frac{- 27}{4 \cdot 2} - 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 108 (- \frac{3}{2}) + 1$

Etapa 4.1.2.1.5.5

Reescreva a expressão.

$3 (\frac{- 27}{2}) - 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 108 (- \frac{3}{2}) + 1$

Etapa 4.1.2.1.6

Combine $3$ e $\frac{- 27}{2}$ .

$\frac{3 \cdot - 27}{2} - 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 108 (- \frac{3}{2}) + 1$

Etapa 4.1.2.1.7

Multiplique $3$ por $- 27$ .

$\frac{- 81}{2} - 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 108 (- \frac{3}{2}) + 1$

Etapa 4.1.2.1.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{81}{2} - 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 108 (- \frac{3}{2}) + 1$

Etapa 4.1.2.1.9

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.9.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{3}{2}$ .

$- \frac{81}{2} - 9 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}) - 108 (- \frac{3}{2}) + 1$

Etapa 4.1.2.1.9.2

Aplique a regra do produto a $\frac{3}{2}$ .

$- \frac{81}{2} - 9 ({(- 1)}^{2} \frac{3^{2}}{2^{2}}) - 108 (- \frac{3}{2}) + 1$

Etapa 4.1.2.1.10

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$- \frac{81}{2} - 9 (1 \frac{3^{2}}{2^{2}}) - 108 (- \frac{3}{2}) + 1$

Etapa 4.1.2.1.11

Multiplique $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$- \frac{81}{2} - 9 \frac{3^{2}}{2^{2}} - 108 (- \frac{3}{2}) + 1$

Etapa 4.1.2.1.12

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$- \frac{81}{2} - 9 \frac{9}{2^{2}} - 108 (- \frac{3}{2}) + 1$

Etapa 4.1.2.1.13

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$- \frac{81}{2} - 9 (\frac{9}{4}) - 108 (- \frac{3}{2}) + 1$

Etapa 4.1.2.1.14

Multiplique $- 9 (\frac{9}{4})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.14.1

Combine $- 9$ e $\frac{9}{4}$ .

$- \frac{81}{2} + \frac{- 9 \cdot 9}{4} - 108 (- \frac{3}{2}) + 1$

Etapa 4.1.2.1.14.2

Multiplique $- 9$ por $9$ .

$- \frac{81}{2} + \frac{- 81}{4} - 108 (- \frac{3}{2}) + 1$

Etapa 4.1.2.1.15

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{81}{2} - \frac{81}{4} - 108 (- \frac{3}{2}) + 1$

Etapa 4.1.2.1.16

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.16.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{3}{2}$ para o numerador.

$- \frac{81}{2} - \frac{81}{4} - 108 (\frac{- 3}{2}) + 1$

Etapa 4.1.2.1.16.2

Fatore $2$ de $- 108$ .

$- \frac{81}{2} - \frac{81}{4} + 2 (- 54) \frac{- 3}{2} + 1$

Etapa 4.1.2.1.16.3

Cancele o fator comum.

$- \frac{81}{2} - \frac{81}{4} + 2 \cdot - 54 \frac{- 3}{2} + 1$

Etapa 4.1.2.1.16.4

Reescreva a expressão.

$- \frac{81}{2} - \frac{81}{4} - 54 \cdot - 3 + 1$

Etapa 4.1.2.1.17

Multiplique $- 54$ por $- 3$ .

$- \frac{81}{2} - \frac{81}{4} + 162 + 1$

Etapa 4.1.2.2

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.2.1

Multiplique $\frac{81}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$- (\frac{81}{2} \cdot \frac{2}{2}) - \frac{81}{4} + 162 + 1$

Etapa 4.1.2.2.2

Multiplique $\frac{81}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{81 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{81}{4} + 162 + 1$

Etapa 4.1.2.2.3

Escreva $162$ como uma fração com denominador $1$ .

$- \frac{81 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{81}{4} + \frac{162}{1} + 1$

Etapa 4.1.2.2.4

Multiplique $\frac{162}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{81 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{81}{4} + \frac{162}{1} \cdot \frac{4}{4} + 1$

Etapa 4.1.2.2.5

Multiplique $\frac{162}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{81 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{81}{4} + \frac{162 \cdot 4}{4} + 1$

Etapa 4.1.2.2.6

Escreva $1$ como uma fração com denominador $1$ .

$- \frac{81 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{81}{4} + \frac{162 \cdot 4}{4} + \frac{1}{1}$

Etapa 4.1.2.2.7

Multiplique $\frac{1}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{81 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{81}{4} + \frac{162 \cdot 4}{4} + \frac{1}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 4.1.2.2.8

Multiplique $\frac{1}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{81 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{81}{4} + \frac{162 \cdot 4}{4} + \frac{4}{4}$

Etapa 4.1.2.2.9

Multiplique $2$ por $2$ .

$- \frac{81 \cdot 2}{4} - \frac{81}{4} + \frac{162 \cdot 4}{4} + \frac{4}{4}$

Etapa 4.1.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 81 \cdot 2 - 81 + 162 \cdot 4 + 4}{4}$

Etapa 4.1.2.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.4.1

Multiplique $- 81$ por $2$ .

$\frac{- 162 - 81 + 162 \cdot 4 + 4}{4}$

Etapa 4.1.2.4.2

Multiplique $162$ por $4$ .

$\frac{- 162 - 81 + 648 + 4}{4}$

Etapa 4.1.2.5

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.5.1

Subtraia $81$ de $- 162$ .

$\frac{- 243 + 648 + 4}{4}$

Etapa 4.1.2.5.2

Some $- 243$ e $648$ .

$\frac{405 + 4}{4}$

Etapa 4.1.2.5.3

Some $405$ e $4$ .

$\frac{409}{4}$

Etapa 4.2

Avalie em $x = 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Substitua $2$ por $x$ .

$12 {(2)}^{3} - 9 {(2)}^{2} - 108 \cdot 2 + 1$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$12 \cdot 8 - 9 {(2)}^{2} - 108 \cdot 2 + 1$

Etapa 4.2.2.1.2

Multiplique $12$ por $8$ .

$96 - 9 {(2)}^{2} - 108 \cdot 2 + 1$

Etapa 4.2.2.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$96 - 9 \cdot 4 - 108 \cdot 2 + 1$

Etapa 4.2.2.1.4

Multiplique $- 9$ por $4$ .

$96 - 36 - 108 \cdot 2 + 1$

Etapa 4.2.2.1.5

Multiplique $- 108$ por $2$ .

$96 - 36 - 216 + 1$

Etapa 4.2.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.2.1

Subtraia $36$ de $96$ .

$60 - 216 + 1$

Etapa 4.2.2.2.2

Subtraia $216$ de $60$ .

$- 156 + 1$

Etapa 4.2.2.2.3

Some $- 156$ e $1$ .

$- 155$

Etapa 4.3

Liste todos os pontos.

$(- \frac{3}{2}, \frac{409}{4}), (2, - 155)$

Etapa 5