Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{- x - 6}{{(x - 6)}^{2}} + 9$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{- x - 6}{{(x - 6)}^{2}} + 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{- x - 6}{{(x - 6)}^{2}}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{- x - 6}{{(x - 6)}^{2}}] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{- x - 6}{{(x - 6)}^{2}}]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = - x - 6$ e $g (x) = {(x - 6)}^{2}$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} \frac{d}{d x} [- x - 6] - (- x - 6) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.1.2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- x - 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6]) - (- x - 6) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.1.2.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]) - (- x - 6) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]) - (- x - 6) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.1.2.5

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 6) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.1.2.6

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x - 6$ .

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Etapa 1.1.2.6.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 6$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 6) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - 6])}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.1.2.6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 6) (2 u \frac{d}{d x} [x - 6])}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.1.2.6.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 6$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 6) (2 (x - 6) \frac{d}{d x} [x - 6])}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.1.2.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 6) (2 (x - 6) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]))}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.1.2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 6) (2 (x - 6) (1 + \frac{d}{d x} [- 6]))}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.1.2.9

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 6) (2 (x - 6) (1 + 0))}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.1.2.10

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- 1 + 0) - (- x - 6) (2 (x - 6) (1 + 0))}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.1.2.11

Some $- 1$ e $0$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} \cdot - 1 - (- x - 6) (2 (x - 6) (1 + 0))}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.1.2.12

Mova $- 1$ para a esquerda de ${(x - 6)}^{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot {(x - 6)}^{2} - (- x - 6) (2 (x - 6) (1 + 0))}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.1.2.13

Reescreva $- 1 {(x - 6)}^{2}$ como $- {(x - 6)}^{2}$ .

$\frac{- {(x - 6)}^{2} - (- x - 6) (2 (x - 6) (1 + 0))}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.1.2.14

Some $1$ e $0$ .

$\frac{- {(x - 6)}^{2} - (- x - 6) (2 (x - 6) \cdot 1)}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.1.2.15

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{- {(x - 6)}^{2} - (- x - 6) (2 (x - 6))}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.1.2.16

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{- {(x - 6)}^{2} - 2 (- x - 6) (x - 6)}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.1.2.17

Multiplique os expoentes em ${({(x - 6)}^{2})}^{2}$ .

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Etapa 1.1.2.17.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- {(x - 6)}^{2} - 2 (- x - 6) (x - 6)}{{(x - 6)}^{2 \cdot 2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.1.2.17.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{- {(x - 6)}^{2} - 2 (- x - 6) (x - 6)}{{(x - 6)}^{4}} + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.1.2.18

Fatore $x - 6$ de $- {(x - 6)}^{2} - 2 (- x - 6) (x - 6)$ .

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Etapa 1.1.2.18.1

Fatore $x - 6$ de $- {(x - 6)}^{2}$ .

$\frac{(x - 6) (- (x - 6)) - 2 (- x - 6) (x - 6)}{{(x - 6)}^{4}} + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.1.2.18.2

Fatore $x - 6$ de $- 2 (- x - 6) (x - 6)$ .

$\frac{(x - 6) (- (x - 6)) + (x - 6) (- 2 (- x - 6))}{{(x - 6)}^{4}} + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.1.2.18.3

Fatore $x - 6$ de $(x - 6) (- (x - 6)) + (x - 6) (- 2 (- x - 6))$ .

$\frac{(x - 6) (- (x - 6) - 2 (- x - 6))}{{(x - 6)}^{4}} + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.1.2.19

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.1.2.19.1

Fatore $x - 6$ de ${(x - 6)}^{4}$ .

$\frac{(x - 6) (- (x - 6) - 2 (- x - 6))}{(x - 6) {(x - 6)}^{3}} + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.1.2.19.2

Cancele o fator comum.

$\frac{(x - 6) (- (x - 6) - 2 (- x - 6))}{(x - 6) {(x - 6)}^{3}} + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.1.2.19.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- (x - 6) - 2 (- x - 6)}{{(x - 6)}^{3}} + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.1.3

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{- (x - 6) - 2 (- x - 6)}{{(x - 6)}^{3}} + 0$

Etapa 1.1.4

Simplifique.

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Etapa 1.1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- x - - 6 - 2 (- x - 6)}{{(x - 6)}^{3}} + 0$

Etapa 1.1.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- x - - 6 - 2 (- x) - 2 \cdot - 6}{{(x - 6)}^{3}} + 0$

Etapa 1.1.4.3

Combine os termos.

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Etapa 1.1.4.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 6$ .

$\frac{- x + 6 - 2 (- x) - 2 \cdot - 6}{{(x - 6)}^{3}} + 0$

Etapa 1.1.4.3.2

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{- x + 6 + 2 x - 2 \cdot - 6}{{(x - 6)}^{3}} + 0$

Etapa 1.1.4.3.3

Multiplique $- 2$ por $- 6$ .

$\frac{- x + 6 + 2 x + 12}{{(x - 6)}^{3}} + 0$

Etapa 1.1.4.3.4

Some $- x$ e $2 x$ .

$\frac{x + 6 + 12}{{(x - 6)}^{3}} + 0$

Etapa 1.1.4.3.5

Some $6$ e $12$ .

$\frac{x + 18}{{(x - 6)}^{3}} + 0$

Etapa 1.1.4.3.6

Some $\frac{x + 18}{{(x - 6)}^{3}}$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{x + 18}{{(x - 6)}^{3}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{x + 18}{{(x - 6)}^{3}}$ .

$\frac{x + 18}{{(x - 6)}^{3}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{x + 18}{{(x - 6)}^{3}} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{x + 18}{{(x - 6)}^{3}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$x + 18 = 0$

Etapa 2.3

Subtraia $18$ dos dois lados da equação.

$x = - 18$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

Defina o denominador em $\frac{x + 18}{{(x - 6)}^{3}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

${(x - 6)}^{3} = 0$

Etapa 3.2

Resolva $x$ .

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Etapa 3.2.1

Defina $x - 6$ como igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Etapa 3.2.2

Some $6$ aos dois lados da equação.

$x = 6$

Etapa 4

Avalie $\frac{- x - 6}{{(x - 6)}^{2}} + 9$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = - 18$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $- 18$ por $x$ .

$\frac{- (- 18) - 6}{{((- 18) - 6)}^{2}} + 9$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.1.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 18$ .

$\frac{18 - 6}{{((- 18) - 6)}^{2}} + 9$

Etapa 4.1.2.1.2

Subtraia $6$ de $18$ .

$\frac{12}{{((- 18) - 6)}^{2}} + 9$

Etapa 4.1.2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.2.2.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.1.2.2.1.1

Subtraia $6$ de $- 18$ .

$\frac{12}{{(- 24)}^{2}} + 9$

Etapa 4.1.2.2.1.2

Eleve $- 24$ à potência de $2$ .

$\frac{12}{576} + 9$

Etapa 4.1.2.2.2

Cancele o fator comum de $12$ e $576$ .

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Etapa 4.1.2.2.2.1

Fatore $12$ de $12$ .

$\frac{12 (1)}{576} + 9$

Etapa 4.1.2.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.1.2.2.2.2.1

Fatore $12$ de $576$ .

$\frac{12 \cdot 1}{12 \cdot 48} + 9$

Etapa 4.1.2.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{12 \cdot 1}{12 \cdot 48} + 9$

Etapa 4.1.2.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{48} + 9$

Etapa 4.1.2.3

Para escrever $9$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{48}{48}$ .

$\frac{1}{48} + 9 \cdot \frac{48}{48}$

Etapa 4.1.2.4

Combine $9$ e $\frac{48}{48}$ .

$\frac{1}{48} + \frac{9 \cdot 48}{48}$

Etapa 4.1.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1 + 9 \cdot 48}{48}$

Etapa 4.1.2.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.2.6.1

Multiplique $9$ por $48$ .

$\frac{1 + 432}{48}$

Etapa 4.1.2.6.2

Some $1$ e $432$ .

$\frac{433}{48}$

Etapa 4.2

Avalie em $x = 6$ .

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Etapa 4.2.1

Substitua $6$ por $x$ .

$\frac{- (6) - 6}{{((6) - 6)}^{2}} + 9$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

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Etapa 4.2.2.1

Subtraia $6$ de $6$ .

$\frac{- (6) - 6}{0^{2}} + 9$

Etapa 4.2.2.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{- (6) - 6}{0} + 9$

Etapa 4.2.2.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 4.3

Liste todos os pontos.

$(- 18, \frac{433}{48})$

Etapa 5