Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{3} - 5 x$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - 5 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 5 x)$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 5 x)$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 5 \frac{d}{d x} x$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 5 \cdot 1$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 5$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $3 x^{2} - 5$ .

$3 x^{2} - 5$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $3 x^{2} - 5 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$3 x^{2} - 5 = 0$

Etapa 2.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$3 x^{2} = 5$

Etapa 2.3

Divida cada termo em $3 x^{2} = 5$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 2.3.1

Divida cada termo em $3 x^{2} = 5$ por $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{5}{3}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{5}{3}$

Etapa 2.3.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{5}{3}$

Etapa 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{5}{3}}$

Etapa 2.5

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{5}{3}}$ .

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Etapa 2.5.1

Reescreva $\sqrt{\frac{5}{3}}$ como $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$

Etapa 2.5.2

Multiplique $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Etapa 2.5.3

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1

Multiplique $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 2.5.3.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Etapa 2.5.3.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Etapa 2.5.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Etapa 2.5.3.5

Some $1$ e $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 2.5.3.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 2.5.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.5.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 2.5.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.5.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.5.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Etapa 2.5.3.6.5

Avalie o expoente.

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{3}$

Etapa 2.5.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.4.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$x = \pm \frac{\sqrt{5 \cdot 3}}{3}$

Etapa 2.5.4.2

Multiplique $5$ por $3$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{15}}{3}$

Etapa 2.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{\sqrt{15}}{3}$

Etapa 2.6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{\sqrt{15}}{3}$

Etapa 2.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{\sqrt{15}}{3}, - \frac{\sqrt{15}}{3}$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 4

Avalie $x^{3} - 5 x$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Avalie em $x = \frac{\sqrt{15}}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua $\frac{\sqrt{15}}{3}$ por $x$ .

${(\frac{\sqrt{15}}{3})}^{3} - 5 \frac{\sqrt{15}}{3}$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{15}}{3}$ .

$\frac{{\sqrt{15}}^{3}}{3^{3}} - 5 \frac{\sqrt{15}}{3}$

Etapa 4.1.2.1.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.2.1

Reescreva ${\sqrt{15}}^{3}$ como $\sqrt{15^{3}}$ .

$\frac{\sqrt{15^{3}}}{3^{3}} - 5 \frac{\sqrt{15}}{3}$

Etapa 4.1.2.1.2.2

Eleve $15$ à potência de $3$ .

$\frac{\sqrt{3375}}{3^{3}} - 5 \frac{\sqrt{15}}{3}$

Etapa 4.1.2.1.2.3

Reescreva $3375$ como $15^{2} \cdot 15$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.2.3.1

Fatore $225$ de $3375$ .

$\frac{\sqrt{225 (15)}}{3^{3}} - 5 \frac{\sqrt{15}}{3}$

Etapa 4.1.2.1.2.3.2

Reescreva $225$ como $15^{2}$ .

$\frac{\sqrt{15^{2} \cdot 15}}{3^{3}} - 5 \frac{\sqrt{15}}{3}$

Etapa 4.1.2.1.2.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{15 \sqrt{15}}{3^{3}} - 5 \frac{\sqrt{15}}{3}$

Etapa 4.1.2.1.3

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$\frac{15 \sqrt{15}}{27} - 5 \frac{\sqrt{15}}{3}$

Etapa 4.1.2.1.4

Cancele o fator comum de $15$ e $27$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.4.1

Fatore $3$ de $15 \sqrt{15}$ .

$\frac{3 (5 \sqrt{15})}{27} - 5 \frac{\sqrt{15}}{3}$

Etapa 4.1.2.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.4.2.1

Fatore $3$ de $27$ .

$\frac{3 (5 \sqrt{15})}{3 (9)} - 5 \frac{\sqrt{15}}{3}$

Etapa 4.1.2.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (5 \sqrt{15})}{3 \cdot 9} - 5 \frac{\sqrt{15}}{3}$

Etapa 4.1.2.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{5 \sqrt{15}}{9} - 5 \frac{\sqrt{15}}{3}$

Etapa 4.1.2.1.5

Combine $- 5$ e $\frac{\sqrt{15}}{3}$ .

$\frac{5 \sqrt{15}}{9} + \frac{- 5 \sqrt{15}}{3}$

Etapa 4.1.2.1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{5 \sqrt{15}}{9} - \frac{5 \sqrt{15}}{3}$

Etapa 4.1.2.2

Para escrever $- \frac{5 \sqrt{15}}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{5 \sqrt{15}}{9} - \frac{5 \sqrt{15}}{3} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 4.1.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $9$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.3.1

Multiplique $\frac{5 \sqrt{15}}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{5 \sqrt{15}}{9} - \frac{5 \sqrt{15} \cdot 3}{3 \cdot 3}$

Etapa 4.1.2.3.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{5 \sqrt{15}}{9} - \frac{5 \sqrt{15} \cdot 3}{9}$

Etapa 4.1.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{5 \sqrt{15} - 5 \sqrt{15} \cdot 3}{9}$

Etapa 4.1.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.5.1

Multiplique $3$ por $- 5$ .

$\frac{5 \sqrt{15} - 15 \sqrt{15}}{9}$

Etapa 4.1.2.5.2

Subtraia $15 \sqrt{15}$ de $5 \sqrt{15}$ .

$\frac{- 10 \sqrt{15}}{9}$

Etapa 4.1.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{10 \sqrt{15}}{9}$

Etapa 4.2

Avalie em $x = - \frac{\sqrt{15}}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Substitua $- \frac{\sqrt{15}}{3}$ por $x$ .

${(- \frac{\sqrt{15}}{3})}^{3} - 5 (- \frac{\sqrt{15}}{3})$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{\sqrt{15}}{3}$ .

${(- 1)}^{3} {(\frac{\sqrt{15}}{3})}^{3} - 5 (- \frac{\sqrt{15}}{3})$

Etapa 4.2.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{15}}{3}$ .

${(- 1)}^{3} \frac{{\sqrt{15}}^{3}}{3^{3}} - 5 (- \frac{\sqrt{15}}{3})$

Etapa 4.2.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$- \frac{{\sqrt{15}}^{3}}{3^{3}} - 5 (- \frac{\sqrt{15}}{3})$

Etapa 4.2.2.1.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.3.1

Reescreva ${\sqrt{15}}^{3}$ como $\sqrt{15^{3}}$ .

$- \frac{\sqrt{15^{3}}}{3^{3}} - 5 (- \frac{\sqrt{15}}{3})$

Etapa 4.2.2.1.3.2

Eleve $15$ à potência de $3$ .

$- \frac{\sqrt{3375}}{3^{3}} - 5 (- \frac{\sqrt{15}}{3})$

Etapa 4.2.2.1.3.3

Reescreva $3375$ como $15^{2} \cdot 15$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.3.3.1

Fatore $225$ de $3375$ .

$- \frac{\sqrt{225 (15)}}{3^{3}} - 5 (- \frac{\sqrt{15}}{3})$

Etapa 4.2.2.1.3.3.2

Reescreva $225$ como $15^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{15^{2} \cdot 15}}{3^{3}} - 5 (- \frac{\sqrt{15}}{3})$

Etapa 4.2.2.1.3.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$- \frac{15 \sqrt{15}}{3^{3}} - 5 (- \frac{\sqrt{15}}{3})$

Etapa 4.2.2.1.4

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$- \frac{15 \sqrt{15}}{27} - 5 (- \frac{\sqrt{15}}{3})$

Etapa 4.2.2.1.5

Cancele o fator comum de $15$ e $27$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.5.1

Fatore $3$ de $15 \sqrt{15}$ .

$- \frac{3 (5 \sqrt{15})}{27} - 5 (- \frac{\sqrt{15}}{3})$

Etapa 4.2.2.1.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.5.2.1

Fatore $3$ de $27$ .

$- \frac{3 (5 \sqrt{15})}{3 (9)} - 5 (- \frac{\sqrt{15}}{3})$

Etapa 4.2.2.1.5.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{3 (5 \sqrt{15})}{3 \cdot 9} - 5 (- \frac{\sqrt{15}}{3})$

Etapa 4.2.2.1.5.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{5 \sqrt{15}}{9} - 5 (- \frac{\sqrt{15}}{3})$

Etapa 4.2.2.1.6

Multiplique $- 5 (- \frac{\sqrt{15}}{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.6.1

Multiplique $- 1$ por $- 5$ .

$- \frac{5 \sqrt{15}}{9} + 5 \frac{\sqrt{15}}{3}$

Etapa 4.2.2.1.6.2

Combine $5$ e $\frac{\sqrt{15}}{3}$ .

$- \frac{5 \sqrt{15}}{9} + \frac{5 \sqrt{15}}{3}$

Etapa 4.2.2.2

Para escrever $\frac{5 \sqrt{15}}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{5 \sqrt{15}}{9} + \frac{5 \sqrt{15}}{3} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 4.2.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $9$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.3.1

Multiplique $\frac{5 \sqrt{15}}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{5 \sqrt{15}}{9} + \frac{5 \sqrt{15} \cdot 3}{3 \cdot 3}$

Etapa 4.2.2.3.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$- \frac{5 \sqrt{15}}{9} + \frac{5 \sqrt{15} \cdot 3}{9}$

Etapa 4.2.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 5 \sqrt{15} + 5 \sqrt{15} \cdot 3}{9}$

Etapa 4.2.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.5.1

Multiplique $3$ por $5$ .

$\frac{- 5 \sqrt{15} + 15 \sqrt{15}}{9}$

Etapa 4.2.2.5.2

Some $- 5 \sqrt{15}$ e $15 \sqrt{15}$ .

$\frac{10 \sqrt{15}}{9}$

Etapa 4.3

Liste todos os pontos.

$(\frac{\sqrt{15}}{3}, - \frac{10 \sqrt{15}}{9}), (- \frac{\sqrt{15}}{3}, \frac{10 \sqrt{15}}{9})$

Etapa 5