Cálculo Exemplos

$y (x) = \frac{6 x}{{(x - 9)}^{2}}$

Etapa 1

Encontre a derivada.

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Etapa 1.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{6 x}{{(x - 9)}^{2}}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x - 9)}^{2}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x - 9)}^{2}}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(x - 9)}^{2}$ .

$6 \frac{{(x - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{2}]}{{({(x - 9)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 1.3.1

Multiplique os expoentes em ${({(x - 9)}^{2})}^{2}$ .

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Etapa 1.3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \frac{{(x - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{2}]}{{(x - 9)}^{2 \cdot 2}}$

Etapa 1.3.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$6 \frac{{(x - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{2}]}{{(x - 9)}^{4}}$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 \frac{{(x - 9)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{2}]}{{(x - 9)}^{4}}$

Etapa 1.3.3

Multiplique ${(x - 9)}^{2}$ por $1$ .

$6 \frac{{(x - 9)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{2}]}{{(x - 9)}^{4}}$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x - 9$ .

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Etapa 1.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 9$ .

$6 \frac{{(x - 9)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - 9])}{{(x - 9)}^{4}}$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$6 \frac{{(x - 9)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x - 9])}{{(x - 9)}^{4}}$

Etapa 1.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 9$ .

$6 \frac{{(x - 9)}^{2} - x (2 (x - 9) \frac{d}{d x} [x - 9])}{{(x - 9)}^{4}}$

Etapa 1.5

Simplifique com fatoração.

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Etapa 1.5.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$6 \frac{{(x - 9)}^{2} - 2 x ((x - 9) \frac{d}{d x} [x - 9])}{{(x - 9)}^{4}}$

Etapa 1.5.2

Fatore $x - 9$ de ${(x - 9)}^{2} - 2 x ((x - 9) \frac{d}{d x} [x - 9])$ .

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Etapa 1.5.2.1

Fatore $x - 9$ de ${(x - 9)}^{2}$ .

$6 \frac{(x - 9) (x - 9) - 2 x ((x - 9) \frac{d}{d x} [x - 9])}{{(x - 9)}^{4}}$

Etapa 1.5.2.2

Fatore $x - 9$ de $- 2 x ((x - 9) \frac{d}{d x} [x - 9])$ .

$6 \frac{(x - 9) (x - 9) + (x - 9) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x - 9]))}{{(x - 9)}^{4}}$

Etapa 1.5.2.3

Fatore $x - 9$ de $(x - 9) (x - 9) + (x - 9) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x - 9]))$ .

$6 \frac{(x - 9) (x - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x - 9]))}{{(x - 9)}^{4}}$

Etapa 1.6

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.6.1

Fatore $x - 9$ de ${(x - 9)}^{4}$ .

$6 \frac{(x - 9) (x - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x - 9]))}{(x - 9) {(x - 9)}^{3}}$

Etapa 1.6.2

Cancele o fator comum.

$6 \frac{(x - 9) (x - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x - 9]))}{(x - 9) {(x - 9)}^{3}}$

Etapa 1.6.3

Reescreva a expressão.

$6 \frac{x - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x - 9])}{{(x - 9)}^{3}}$

Etapa 1.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$6 \frac{x - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x - 9)}^{3}}$

Etapa 1.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 \frac{x - 9 - 2 x (1 + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x - 9)}^{3}}$

Etapa 1.9

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9$ em relação a $x$ é $0$ .

$6 \frac{x - 9 - 2 x (1 + 0)}{{(x - 9)}^{3}}$

Etapa 1.10

Simplifique os termos.

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Etapa 1.10.1

Some $1$ e $0$ .

$6 \frac{x - 9 - 2 x \cdot 1}{{(x - 9)}^{3}}$

Etapa 1.10.2

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$6 \frac{x - 9 - 2 x}{{(x - 9)}^{3}}$

Etapa 1.10.3

Subtraia $2 x$ de $x$ .

$6 \frac{- x - 9}{{(x - 9)}^{3}}$

Etapa 1.10.4

Combine $6$ e $\frac{- x - 9}{{(x - 9)}^{3}}$ .

$\frac{6 (- x - 9)}{{(x - 9)}^{3}}$

Etapa 1.11

Simplifique.

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Etapa 1.11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{6 (- x) + 6 \cdot - 9}{{(x - 9)}^{3}}$

Etapa 1.11.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.11.2.1

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$\frac{- 6 x + 6 \cdot - 9}{{(x - 9)}^{3}}$

Etapa 1.11.2.2

Multiplique $6$ por $- 9$ .

$\frac{- 6 x - 54}{{(x - 9)}^{3}}$

Etapa 1.11.3

Fatore $6$ de $- 6 x - 54$ .

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Etapa 1.11.3.1

Fatore $6$ de $- 6 x$ .

$\frac{6 (- x) - 54}{{(x - 9)}^{3}}$

Etapa 1.11.3.2

Fatore $6$ de $- 54$ .

$\frac{6 (- x) + 6 (- 9)}{{(x - 9)}^{3}}$

Etapa 1.11.3.3

Fatore $6$ de $6 (- x) + 6 (- 9)$ .

$\frac{6 (- x - 9)}{{(x - 9)}^{3}}$

Etapa 1.11.4

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{6 (- (x) - 9)}{{(x - 9)}^{3}}$

Etapa 1.11.5

Reescreva $- 9$ como $- 1 (9)$ .

$\frac{6 (- (x) - 1 (9))}{{(x - 9)}^{3}}$

Etapa 1.11.6

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (9)$ .

$\frac{6 (- (x + 9))}{{(x - 9)}^{3}}$

Etapa 1.11.7

Reescreva $- (x + 9)$ como $- 1 (x + 9)$ .

$\frac{6 (- 1 (x + 9))}{{(x - 9)}^{3}}$

Etapa 1.11.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{6 (x + 9)}{{(x - 9)}^{3}}$

Etapa 2

Defina a derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{6 (x + 9)}{{(x - 9)}^{3}} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina o numerador como igual a zero.

$6 (x + 9) = 0$

Etapa 2.2

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 2.2.1

Divida cada termo em $6 (x + 9) = 0$ por $6$ e simplifique.

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Etapa 2.2.1.1

Divida cada termo em $6 (x + 9) = 0$ por $6$ .

$\frac{6 (x + 9)}{6} = \frac{0}{6}$

Etapa 2.2.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1.2.1

Cancele o fator comum de $6$ .

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Etapa 2.2.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6 (x + 9)}{6} = \frac{0}{6}$

Etapa 2.2.1.2.1.2

Divida $x + 9$ por $1$ .

$x + 9 = \frac{0}{6}$

Etapa 2.2.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.2.1.3.1

Divida $0$ por $6$ .

$x + 9 = 0$

Etapa 2.2.2

Subtraia $9$ dos dois lados da equação.

$x = - 9$

Etapa 3

Resolva a função original $f (x) = \frac{6 x}{{(x - 9)}^{2}}$ em $x = - 9$ .

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Etapa 3.1

Substitua a variável $x$ por $- 9$ na expressão.

$f (- 9) = \frac{6 (- 9)}{{((- 9) - 9)}^{2}}$

Etapa 3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.2.1

Multiplique $6$ por $- 9$ .

$f (- 9) = \frac{- 54}{{(- 9 - 9)}^{2}}$

Etapa 3.2.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 3.2.2.1

Subtraia $9$ de $- 9$ .

$f (- 9) = \frac{- 54}{{(- 18)}^{2}}$

Etapa 3.2.2.2

Eleve $- 18$ à potência de $2$ .

$f (- 9) = \frac{- 54}{324}$

Etapa 3.2.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 3.2.3.1

Cancele o fator comum de $- 54$ e $324$ .

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Etapa 3.2.3.1.1

Fatore $54$ de $- 54$ .

$f (- 9) = \frac{54 (- 1)}{324}$

Etapa 3.2.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.2.3.1.2.1

Fatore $54$ de $324$ .

$f (- 9) = \frac{54 \cdot - 1}{54 \cdot 6}$

Etapa 3.2.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- 9) = \frac{54 \cdot - 1}{54 \cdot 6}$

Etapa 3.2.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- 9) = \frac{- 1}{6}$

Etapa 3.2.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- 9) = - \frac{1}{6}$

Etapa 3.2.4

A resposta final é $- \frac{1}{6}$ .

$- \frac{1}{6}$

Etapa 4

A reta tangente horizontal na função $f (x) = \frac{6 x}{{(x - 9)}^{2}}$ é $y = - \frac{1}{6}$ .

$y = - \frac{1}{6}$

Etapa 5