Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{2} (x^{2} - 4)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} - 4$ .

$f' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4)) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 4)) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Etapa 1.1.2.3

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = x^{2} (2 x + 0) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Etapa 1.1.2.4

Some $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = x^{2} (2 x) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Etapa 1.1.3

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Mova $x$ .

$f' (x) = x \cdot x^{2} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Etapa 1.1.3.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = x \cdot x^{2} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Etapa 1.1.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = x^{1 + 2} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Etapa 1.1.3.3

Some $1$ e $2$ .

$f' (x) = x^{3} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Etapa 1.1.4

Mova $2$ para a esquerda de $x^{3}$ .

$f' (x) = 2 \cdot x^{3} + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Etapa 1.1.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 2 x^{3} + (x^{2} - 4) (2 x)$

Etapa 1.1.6

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2} - 4$ .

$f' (x) = 2 x^{3} + 2 \cdot ((x^{2} - 4) x)$

Etapa 1.1.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = 2 x^{3} + (2 x^{2} + 2 \cdot - 4) x$

Etapa 1.1.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = 2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 4 x)$

Etapa 1.1.7.3

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.3.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = 2 x^{3} + 2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (- 4 x)$

Etapa 1.1.7.3.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = 2 x^{3} + 2 x^{1 + 2} + 2 \cdot (- 4 x)$

Etapa 1.1.7.3.3

Some $1$ e $2$ .

$f' (x) = 2 x^{3} + 2 x^{3} + 2 \cdot (- 4 x)$

Etapa 1.1.7.3.4

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$f' (x) = 2 x^{3} + 2 x^{3} - 8 x$

Etapa 1.1.7.3.5

Some $2 x^{3}$ e $2 x^{3}$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 8 x$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $4 x^{3} - 8 x$ .

$4 x^{3} - 8 x$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $4 x^{3} - 8 x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$4 x^{3} - 8 x = 0$

Etapa 2.2

Fatore $4 x$ de $4 x^{3} - 8 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Fatore $4 x$ de $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 8 x = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore $4 x$ de $- 8 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 2) = 0$

Etapa 2.2.3

Fatore $4 x$ de $4 x (x^{2}) + 4 x (- 2)$ .

$4 x (x^{2} - 2) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 2 = 0$

Etapa 2.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.5

Defina $x^{2} - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Defina $x^{2} - 2$ como igual a $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

Etapa 2.5.2

Resolva $x^{2} - 2 = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.5.2.1

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 2$

Etapa 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

Etapa 2.5.2.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt{2}$

Etapa 2.5.2.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt{2}$

Etapa 2.5.2.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $4 x (x^{2} - 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 4

Avalie $x^{2} (x^{2} - 4)$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

${(0)}^{2} ({(0)}^{2} - 4)$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 ({(0)}^{2} - 4)$

Etapa 4.1.2.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 (0 - 4)$

Etapa 4.1.2.3

Subtraia $4$ de $0$ .

$0 \cdot - 4$

Etapa 4.1.2.4

Multiplique $0$ por $- 4$ .

$0$

Etapa 4.2

Avalie em $x = \sqrt{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Substitua $\sqrt{2}$ por $x$ .

${(\sqrt{2})}^{2} ({(\sqrt{2})}^{2} - 4)$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

${(2^{\frac{1}{2}})}^{2} ({(\sqrt{2})}^{2} - 4)$

Etapa 4.2.2.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2} ({(\sqrt{2})}^{2} - 4)$

Etapa 4.2.2.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$2^{\frac{2}{2}} ({(\sqrt{2})}^{2} - 4)$

Etapa 4.2.2.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.4.1

Cancele o fator comum.

$2^{\frac{2}{2}} ({(\sqrt{2})}^{2} - 4)$

Etapa 4.2.2.1.4.2

Reescreva a expressão.

$2^{1} ({(\sqrt{2})}^{2} - 4)$

Etapa 4.2.2.1.5

Avalie o expoente.

$2 ({(\sqrt{2})}^{2} - 4)$

Etapa 4.2.2.2

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2 ({(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4)$

Etapa 4.2.2.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4)$

Etapa 4.2.2.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$2 (2^{\frac{2}{2}} - 4)$

Etapa 4.2.2.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.2.4.1

Cancele o fator comum.

$2 (2^{\frac{2}{2}} - 4)$

Etapa 4.2.2.2.4.2

Reescreva a expressão.

$2 (2^{1} - 4)$

Etapa 4.2.2.2.5

Avalie o expoente.

$2 (2 - 4)$

Etapa 4.2.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.3.1

Subtraia $4$ de $2$ .

$2 \cdot - 2$

Etapa 4.2.2.3.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$- 4$

Etapa 4.3

Avalie em $x = - \sqrt{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua $- \sqrt{2}$ por $x$ .

${(- \sqrt{2})}^{2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 4)$

Etapa 4.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Simplifique cancelando o expoente com radical.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1

Aplique a regra do produto a $- \sqrt{2}$ .

${(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 4)$

Etapa 4.3.2.1.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$1 {\sqrt{2}}^{2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 4)$

Etapa 4.3.2.1.2.2

Multiplique ${\sqrt{2}}^{2}$ por $1$ .

${\sqrt{2}}^{2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 4)$

Etapa 4.3.2.1.3

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

${(2^{\frac{1}{2}})}^{2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 4)$

Etapa 4.3.2.1.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 4)$

Etapa 4.3.2.1.3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$2^{\frac{2}{2}} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 4)$

Etapa 4.3.2.1.3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.3.4.1

Cancele o fator comum.

$2^{\frac{2}{2}} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 4)$

Etapa 4.3.2.1.3.4.2

Reescreva a expressão.

$2^{1} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 4)$

Etapa 4.3.2.1.3.5

Avalie o expoente.

$2 ({(- \sqrt{2})}^{2} - 4)$

Etapa 4.3.2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.1

Aplique a regra do produto a $- \sqrt{2}$ .

$2 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2} - 4)$

Etapa 4.3.2.2.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$2 (1 {\sqrt{2}}^{2} - 4)$

Etapa 4.3.2.2.3

Multiplique ${\sqrt{2}}^{2}$ por $1$ .

$2 ({\sqrt{2}}^{2} - 4)$

Etapa 4.3.2.2.4

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2 ({(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4)$

Etapa 4.3.2.2.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4)$

Etapa 4.3.2.2.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$2 (2^{\frac{2}{2}} - 4)$

Etapa 4.3.2.2.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.4.4.1

Cancele o fator comum.

$2 (2^{\frac{2}{2}} - 4)$

Etapa 4.3.2.2.4.4.2

Reescreva a expressão.

$2 (2^{1} - 4)$

Etapa 4.3.2.2.4.5

Avalie o expoente.

$2 (2 - 4)$

Etapa 4.3.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.1

Subtraia $4$ de $2$ .

$2 \cdot - 2$

Etapa 4.3.2.3.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$- 4$

Etapa 4.4

Liste todos os pontos.

$(0, 0), (\sqrt{2}, - 4), (- \sqrt{2}, - 4)$

Etapa 5