Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{5}{3 x - 2}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{5}{3 x - 2}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x - 2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x - 2}]$

Etapa 1.1.1.2

Reescreva $\frac{1}{3 x - 2}$ como ${(3 x - 2)}^{- 1}$ .

$5 \frac{d}{d x} [{(3 x - 2)}^{- 1}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = 3 x - 2$ .

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Etapa 1.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 x - 2$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [3 x - 2])$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$5 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [3 x - 2])$

Etapa 1.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x - 2$ .

$5 (- {(3 x - 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [3 x - 2])$

Etapa 1.1.3

Diferencie.

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Etapa 1.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$- 5 ({(3 x - 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [3 x - 2])$

Etapa 1.1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$- 5 {(3 x - 2)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Etapa 1.1.3.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 {(3 x - 2)}^{- 2} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Etapa 1.1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 5 {(3 x - 2)}^{- 2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])$

Etapa 1.1.3.5

Multiplique $3$ por $1$ .

$- 5 {(3 x - 2)}^{- 2} (3 + \frac{d}{d x} [- 2])$

Etapa 1.1.3.6

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 5 {(3 x - 2)}^{- 2} (3 + 0)$

Etapa 1.1.3.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.3.7.1

Some $3$ e $0$ .

$- 5 {(3 x - 2)}^{- 2} \cdot 3$

Etapa 1.1.3.7.2

Multiplique $3$ por $- 5$ .

$- 15 {(3 x - 2)}^{- 2}$

Etapa 1.1.4

Simplifique.

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Etapa 1.1.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 15 \frac{1}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.4.2

Combine os termos.

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Etapa 1.1.4.2.1

Combine $- 15$ e $\frac{1}{{(3 x - 2)}^{2}}$ .

$\frac{- 15}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.4.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{15}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{15}{{(3 x - 2)}^{2}}$ .

$- \frac{15}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{15}{{(3 x - 2)}^{2}} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{15}{{(3 x - 2)}^{2}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$15 = 0$

Etapa 2.3

Como $15 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

Defina o denominador em $\frac{15}{{(3 x - 2)}^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

${(3 x - 2)}^{2} = 0$

Etapa 3.2

Resolva $x$ .

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Etapa 3.2.1

Defina $3 x - 2$ como igual a $0$ .

$3 x - 2 = 0$

Etapa 3.2.2

Resolva $x$ .

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Etapa 3.2.2.1

Some $2$ aos dois lados da equação.

$3 x = 2$

Etapa 3.2.2.2

Divida cada termo em $3 x = 2$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 3.2.2.2.1

Divida cada termo em $3 x = 2$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Etapa 3.2.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.2.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Etapa 3.2.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Etapa 4

Avalie $\frac{5}{3 x - 2}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = \frac{2}{3}$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $\frac{2}{3}$ por $x$ .

$\frac{5}{3 (\frac{2}{3}) - 2}$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 4.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5}{3 (\frac{2}{3}) - 2}$

Etapa 4.1.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{5}{2 - 2}$

Etapa 4.1.2.2

Subtraia $2$ de $2$ .

$\frac{5}{0}$

Etapa 4.1.2.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 5

Não há valores de $x$ no domínio do problema original, em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Nenhum ponto crítico encontrado