Cálculo Exemplos

$f (x) = \sqrt{25 - x^{2}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{25 - x^{2}}$ como ${(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 25 - x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $25 - x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (25 - x^{2})$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (25 - x^{2})$

Etapa 1.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $25 - x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (25 - x^{2})$

Etapa 1.1.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (25 - x^{2})$

Etapa 1.1.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (25 - x^{2})$

Etapa 1.1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(25 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (25 - x^{2})$

Etapa 1.1.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(25 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (25 - x^{2})$

Etapa 1.1.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(25 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (25 - x^{2})$

Etapa 1.1.7

Combine frações.

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Etapa 1.1.7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(25 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (25 - x^{2})$

Etapa 1.1.7.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(25 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{{(25 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (25 - x^{2})$

Etapa 1.1.7.3

Mova ${(25 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (25 - x^{2})$

Etapa 1.1.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $25 - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (25) + \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

Etapa 1.1.9

Como $25$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $25$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

Etapa 1.1.10

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2})$

Etapa 1.1.11

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2})$

Etapa 1.1.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- (2 x))$

Etapa 1.1.13

Simplifique os termos.

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Etapa 1.1.13.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x)$

Etapa 1.1.13.2

Combine $- 2$ e $\frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{- 2}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x$

Etapa 1.1.13.3

Combine $\frac{- 2}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.13.4

Fatore $2$ de $- 2 x$ .

$f' (x) = \frac{2 (- x)}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.14

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.1.14.1

Fatore $2$ de $2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{2 (- x)}{2 ({(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 1.1.14.2

Cancele o fator comum.

$f' (x) = \frac{2 (- x)}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.14.3

Reescreva a expressão.

$f' (x) = \frac{- x}{{(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.15

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{x}{{(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{x}{{(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x}{{(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{x}{{(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{x}{{(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$x = 0$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

Converta expressões com expoentes fracionários em radicais.

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Etapa 3.1.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$- \frac{x}{\sqrt{{(25 - x^{2})}^{1}}}$

Etapa 3.1.2

Qualquer número elevado a $1$ é a própria base.

$- \frac{x}{\sqrt{25 - x^{2}}}$

Etapa 3.2

Defina o denominador em $\frac{x}{\sqrt{25 - x^{2}}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$\sqrt{25 - x^{2}} = 0$

Etapa 3.3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{25 - x^{2}}}^{2} = 0^{2}$

Etapa 3.3.2

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 3.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{25 - x^{2}}$ como ${(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 3.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.2.2.1

Simplifique ${({(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 3.3.2.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 3.3.2.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 3.3.2.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.3.2.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 3.3.2.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(25 - x^{2})}^{1} = 0^{2}$

Etapa 3.3.2.2.1.2

Simplifique.

$25 - x^{2} = 0^{2}$

Etapa 3.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$25 - x^{2} = 0$

Etapa 3.3.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Subtraia $25$ dos dois lados da equação.

$- x^{2} = - 25$

Etapa 3.3.3.2

Divida cada termo em $- x^{2} = - 25$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.1

Divida cada termo em $- x^{2} = - 25$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 25}{- 1}$

Etapa 3.3.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 25}{- 1}$

Etapa 3.3.3.2.2.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 25}{- 1}$

Etapa 3.3.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.3.1

Divida $- 25$ por $- 1$ .

$x^{2} = 25$

Etapa 3.3.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{25}$

Etapa 3.3.3.4

Simplifique $\pm \sqrt{25}$ .

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Etapa 3.3.3.4.1

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{5^{2}}$

Etapa 3.3.3.4.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 5$

Etapa 3.3.3.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.3.3.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 5$

Etapa 3.3.3.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 5$

Etapa 3.3.3.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 5, - 5$

Etapa 3.4

Defina o radicando em $\sqrt{25 - x^{2}}$ como menor do que $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$25 - x^{2} < 0$

Etapa 3.5

Resolva $x$ .

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Etapa 3.5.1

Subtraia $25$ dos dois lados da desigualdade.

$- x^{2} < - 25$

Etapa 3.5.2

Divida cada termo em $- x^{2} < - 25$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 3.5.2.1

Divida cada termo em $- x^{2} < - 25$ por $- 1$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- x^{2}}{- 1} > \frac{- 25}{- 1}$

Etapa 3.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} > \frac{- 25}{- 1}$

Etapa 3.5.2.2.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} > \frac{- 25}{- 1}$

Etapa 3.5.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.3.1

Divida $- 25$ por $- 1$ .

$x^{2} > 25$

Etapa 3.5.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} > \sqrt{25}$

Etapa 3.5.4

Simplifique a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.1.1

Elimine os termos abaixo do radical.

$| x | > \sqrt{25}$

Etapa 3.5.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.2.1

Simplifique $\sqrt{25}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.2.1.1

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$| x | > \sqrt{5^{2}}$

Etapa 3.5.4.2.1.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$| x | > | 5 |$

Etapa 3.5.4.2.1.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $5$ é $5$ .

$| x | > 5$

Etapa 3.5.5

Escreva $| x | > 5$ em partes.

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Etapa 3.5.5.1

Para encontrar o intervalo da primeira parte, identifique onde o interior do valor absoluto é não negativo.

$x \geq 0$

Etapa 3.5.5.2

Na parte em que $x$ é não negativo, remova o valor absoluto.

$x > 5$

Etapa 3.5.5.3

Para encontrar o intervalo da segunda parte, identifique onde o interior do valor absoluto é negativo.

$x < 0$

Etapa 3.5.5.4

Na parte em que $x$ é negativo, remova o valor absoluto e multiplique por $- 1$ .

$- x > 5$

Etapa 3.5.5.5

Escreva em partes.

${\begin{cases} x > 5 & x \geq 0 \\ - x > 5 & x < 0 \end{cases}$

Etapa 3.5.6

Encontre a intersecção de $x > 5$ e $x \geq 0$ .

$x > 5$

Etapa 3.5.7

Divida cada termo em $- x > 5$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.7.1

Divida cada termo em $- x > 5$ por $- 1$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{5}{- 1}$

Etapa 3.5.7.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.7.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} < \frac{5}{- 1}$

Etapa 3.5.7.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x < \frac{5}{- 1}$

Etapa 3.5.7.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.5.7.3.1

Divida $5$ por $- 1$ .

$x < - 5$

Etapa 3.5.8

Encontre a união das soluções.

$x < - 5$ ou $x > 5$

Etapa 3.6

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x \leq - 5, x \geq 5$

$(- \infty, - 5] \cup [5, \infty)$

$x \leq - 5, x \geq 5$

$(- \infty, - 5] \cup [5, \infty)$

Etapa 4

Avalie $\sqrt{25 - x^{2}}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

$\sqrt{25 - {(0)}^{2}}$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\sqrt{25 - 0}$

Etapa 4.1.2.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\sqrt{25 + 0}$

Etapa 4.1.2.3

Some $25$ e $0$ .

$\sqrt{25}$

Etapa 4.1.2.4

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$\sqrt{5^{2}}$

Etapa 4.1.2.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$5$

Etapa 4.2

Avalie em $x = - 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Substitua $- 5$ por $x$ .

$\sqrt{25 - {(- 5)}^{2}}$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Eleve $- 5$ à potência de $2$ .

$\sqrt{25 - 1 \cdot 25}$

Etapa 4.2.2.2

Multiplique $- 1$ por $25$ .

$\sqrt{25 - 25}$

Etapa 4.2.2.3

Subtraia $25$ de $25$ .

$\sqrt{0}$

Etapa 4.2.2.4

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$\sqrt{0^{2}}$

Etapa 4.2.2.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$0$

Etapa 4.3

Avalie em $x = 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua $5$ por $x$ .

$\sqrt{25 - {(5)}^{2}}$

Etapa 4.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\sqrt{25 - 1 \cdot 25}$

Etapa 4.3.2.2

Multiplique $- 1$ por $25$ .

$\sqrt{25 - 25}$

Etapa 4.3.2.3

Subtraia $25$ de $25$ .

$\sqrt{0}$

Etapa 4.3.2.4

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$\sqrt{0^{2}}$

Etapa 4.3.2.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$0$

Etapa 4.4

Liste todos os pontos.

$(0, 5), (- 5, 0), (5, 0)$

Etapa 5