Cálculo Exemplos

$f (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x^{2} - 1}$ como ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{2} - 1$ .

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Etapa 1.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Etapa 1.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} - 1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Etapa 1.1.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Etapa 1.1.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Etapa 1.1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Etapa 1.1.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Etapa 1.1.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Etapa 1.1.7

Combine frações.

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Etapa 1.1.7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Etapa 1.1.7.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Etapa 1.1.7.3

Mova ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Etapa 1.1.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 1.1.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 1.1.10

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

Etapa 1.1.11

Simplifique os termos.

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Etapa 1.1.11.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

Etapa 1.1.11.2

Combine $2$ e $\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} x$

Etapa 1.1.11.3

Combine $\frac{2}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.11.4

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.11.5

Reescreva a expressão.

$f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$x = 0$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

Converta expressões com expoentes fracionários em radicais.

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Etapa 3.1.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\frac{x}{\sqrt{{(x^{2} - 1)}^{1}}}$

Etapa 3.1.2

Qualquer número elevado a $1$ é a própria base.

$\frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}}$

Etapa 3.2

Defina o denominador em $\frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$\sqrt{x^{2} - 1} = 0$

Etapa 3.3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{x^{2} - 1}}^{2} = 0^{2}$

Etapa 3.3.2

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 3.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x^{2} - 1}$ como ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 3.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.2.2.1

Simplifique ${({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 3.3.2.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 3.3.2.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 3.3.2.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.3.2.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 3.3.2.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(x^{2} - 1)}^{1} = 0^{2}$

Etapa 3.3.2.2.1.2

Simplifique.

$x^{2} - 1 = 0^{2}$

Etapa 3.3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$x^{2} - 1 = 0$

Etapa 3.3.3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.3.3.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 1$

Etapa 3.3.3.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{1}$

Etapa 3.3.3.3

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm 1$

Etapa 3.3.3.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.3.3.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 1$

Etapa 3.3.3.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 1$

Etapa 3.3.3.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 1, - 1$

Etapa 3.4

Defina o radicando em $\sqrt{x^{2} - 1}$ como menor do que $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} - 1 < 0$

Etapa 3.5

Resolva $x$ .

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Etapa 3.5.1

Some $1$ aos dois lados da desigualdade.

$x^{2} < 1$

Etapa 3.5.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da desigualdade para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$\sqrt{x^{2}} < \sqrt{1}$

Etapa 3.5.3

Simplifique a equação.

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Etapa 3.5.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.5.3.1.1

Elimine os termos abaixo do radical.

$| x | < \sqrt{1}$

Etapa 3.5.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.5.3.2.1

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$| x | < 1$

Etapa 3.5.4

Escreva $| x | < 1$ em partes.

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Etapa 3.5.4.1

Para encontrar o intervalo da primeira parte, identifique onde o interior do valor absoluto é não negativo.

$x \geq 0$

Etapa 3.5.4.2

Na parte em que $x$ é não negativo, remova o valor absoluto.

$x < 1$

Etapa 3.5.4.3

Para encontrar o intervalo da segunda parte, identifique onde o interior do valor absoluto é negativo.

$x < 0$

Etapa 3.5.4.4

Na parte em que $x$ é negativo, remova o valor absoluto e multiplique por $- 1$ .

$- x < 1$

Etapa 3.5.4.5

Escreva em partes.

${\begin{cases} x < 1 & x \geq 0 \\ - x < 1 & x < 0 \end{cases}$

Etapa 3.5.5

Encontre a intersecção de $x < 1$ e $x \geq 0$ .

$0 \leq x < 1$

Etapa 3.5.6

Resolva $- x < 1$ quando $x < 0$ .

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Etapa 3.5.6.1

Divida cada termo em $- x < 1$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 3.5.6.1.1

Divida cada termo em $- x < 1$ por $- 1$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- x}{- 1} > \frac{1}{- 1}$

Etapa 3.5.6.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.5.6.1.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} > \frac{1}{- 1}$

Etapa 3.5.6.1.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x > \frac{1}{- 1}$

Etapa 3.5.6.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.5.6.1.3.1

Divida $1$ por $- 1$ .

$x > - 1$

Etapa 3.5.6.2

Encontre a intersecção de $x > - 1$ e $x < 0$ .

$- 1 < x < 0$

Etapa 3.5.7

Encontre a união das soluções.

$- 1 < x < 1$

Etapa 3.6

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$- 1 \leq x \leq 1$

$[- 1, 1]$

$- 1 \leq x \leq 1$

$[- 1, 1]$

Etapa 4

Avalie $\sqrt{x^{2} - 1}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = 0$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

$\sqrt{{(0)}^{2} - 1}$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\sqrt{0 - 1}$

Etapa 4.1.2.2

Subtraia $1$ de $0$ .

$\sqrt{- 1}$

Etapa 4.1.2.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$i$

Etapa 4.2

Avalie em $x = - 1$ .

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Etapa 4.2.1

Substitua $- 1$ por $x$ .

$\sqrt{{(- 1)}^{2} - 1}$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$\sqrt{1 - 1}$

Etapa 4.2.2.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\sqrt{0}$

Etapa 4.2.2.3

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$\sqrt{0^{2}}$

Etapa 4.2.2.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$0$

Etapa 4.3

Avalie em $x = 1$ .

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Etapa 4.3.1

Substitua $1$ por $x$ .

$\sqrt{{(1)}^{2} - 1}$

Etapa 4.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\sqrt{1 - 1}$

Etapa 4.3.2.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\sqrt{0}$

Etapa 4.3.2.3

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$\sqrt{0^{2}}$

Etapa 4.3.2.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$0$

Etapa 4.4

Liste todos os pontos.

$(- 1, 0), (1, 0)$

Etapa 5