Cálculo Exemplos

$\sum_{n = 1}^{6} {(\frac{1}{4})}^{n - 1}$

Etapa 1

A soma de uma série geométrica finita pode ser encontrada pela fórmula $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ , em que $a$ é o primeiro termo e $r$ é a razão entre os termos sucessivos.

Etapa 2

Encontre a razão dos termos sucessivos substituindo a fórmula $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ e simplificando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Substitua $a_{n}$ e $a_{n + 1}$ na fórmula por $r$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{4})}^{n + 1 - 1}}{{(\frac{1}{4})}^{n - 1}}$

Etapa 2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Cancele o fator comum de ${(\frac{1}{4})}^{n + 1 - 1}$ e ${(\frac{1}{4})}^{n - 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Fatore ${(\frac{1}{4})}^{n - 1}$ de ${(\frac{1}{4})}^{n + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{4})}^{n - 1} {(\frac{1}{4})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{4})}^{n - 1}}$

Etapa 2.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.2.1.2.1

Multiplique por $1$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{4})}^{n - 1} {(\frac{1}{4})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{4})}^{n - 1} \cdot 1}$

Etapa 2.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$r = \frac{{(\frac{1}{4})}^{n - 1} {(\frac{1}{4})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{4})}^{n - 1} \cdot 1}$

Etapa 2.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$r = \frac{{(\frac{1}{4})}^{n + 0 - (n - 1)}}{1}$

Etapa 2.2.1.2.4

Divida ${(\frac{1}{4})}^{n + 0 - (n - 1)}$ por $1$ .

$r = {(\frac{1}{4})}^{n + 0 - (n - 1)}$

Etapa 2.2.2

Some $n$ e $0$ .

$r = {(\frac{1}{4})}^{n - (n - 1)}$

Etapa 2.2.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$r = {(\frac{1}{4})}^{n - n - - 1}$

Etapa 2.2.3.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$r = {(\frac{1}{4})}^{n - n + 1}$

Etapa 2.2.4

Subtraia $n$ de $n$ .

$r = {(\frac{1}{4})}^{0 + 1}$

Etapa 2.2.5

Some $0$ e $1$ .

$r = {(\frac{1}{4})}^{1}$

Etapa 2.2.6

Simplifique.

$r = \frac{1}{4}$

Etapa 3

Encontre o primeiro termo da série, substituindo o limite inferior e simplificando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $1$ por $n$ em ${(\frac{1}{4})}^{n - 1}$ .

$a = {(\frac{1}{4})}^{1 - 1}$

Etapa 3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$a = {(\frac{1}{4})}^{0}$

Etapa 3.2.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{4}$ .

$a = \frac{1^{0}}{4^{0}}$

Etapa 3.2.3

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$a = \frac{1}{4^{0}}$

Etapa 3.2.4

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$a = \frac{1}{1}$

Etapa 3.2.5

Divida $1$ por $1$ .

$a = 1$

Etapa 4

Substitua os valores da razão, o primeiro termo e o número de termos na fórmula da soma.

$1 \frac{1 - {(\frac{1}{4})}^{6}}{1 - \frac{1}{4}}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Multiplique $\frac{1 - {(\frac{1}{4})}^{6}}{1 - \frac{1}{4}}$ por $1$ .

$\frac{1 - {(\frac{1}{4})}^{6}}{1 - \frac{1}{4}}$

Etapa 5.2

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $4$ .

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Etapa 5.2.1

Multiplique $\frac{1 - {(\frac{1}{4})}^{6}}{1 - \frac{1}{4}}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{4} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{4})}^{6}}{1 - \frac{1}{4}}$

Etapa 5.2.2

Combine.

$\frac{4 (1 - {(\frac{1}{4})}^{6})}{4 (1 - \frac{1}{4})}$

Etapa 5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 \cdot 1 + 4 (- {(\frac{1}{4})}^{6})}{4 \cdot 1 + 4 (- \frac{1}{4})}$

Etapa 5.4

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 5.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{4}$ para o numerador.

$\frac{4 \cdot 1 + 4 (- {(\frac{1}{4})}^{6})}{4 \cdot 1 + 4 (\frac{- 1}{4})}$

Etapa 5.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4 \cdot 1 + 4 (- {(\frac{1}{4})}^{6})}{4 \cdot 1 + 4 (\frac{- 1}{4})}$

Etapa 5.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{4 \cdot 1 + 4 (- {(\frac{1}{4})}^{6})}{4 \cdot 1 - 1}$

Etapa 5.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.5.1

Multiplique $4$ por $1$ .

$\frac{4 + 4 (- {(\frac{1}{4})}^{6})}{4 \cdot 1 - 1}$

Etapa 5.5.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4 + 4 (- \frac{1^{6}}{4^{6}})}{4 \cdot 1 - 1}$

Etapa 5.5.3

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 5.5.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1^{6}}{4^{6}}$ para o numerador.

$\frac{4 + 4 \frac{- 1^{6}}{4^{6}}}{4 \cdot 1 - 1}$

Etapa 5.5.3.2

Fatore $4$ de $4^{6}$ .

$\frac{4 + 4 \frac{- 1^{6}}{4 \cdot 4^{5}}}{4 \cdot 1 - 1}$

Etapa 5.5.3.3

Cancele o fator comum.

$\frac{4 + 4 \frac{- 1^{6}}{4 \cdot 4^{5}}}{4 \cdot 1 - 1}$

Etapa 5.5.3.4

Reescreva a expressão.

$\frac{4 + \frac{- 1^{6}}{4^{5}}}{4 \cdot 1 - 1}$

Etapa 5.5.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{4 + \frac{- 1 \cdot 1}{4^{5}}}{4 \cdot 1 - 1}$

Etapa 5.5.5

Eleve $4$ à potência de $5$ .

$\frac{4 + \frac{- 1 \cdot 1}{1024}}{4 \cdot 1 - 1}$

Etapa 5.5.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{4 + \frac{- 1}{1024}}{4 \cdot 1 - 1}$

Etapa 5.5.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{4 - \frac{1}{1024}}{4 \cdot 1 - 1}$

Etapa 5.5.8

Para escrever $4$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{1024}{1024}$ .

$\frac{4 \cdot \frac{1024}{1024} - \frac{1}{1024}}{4 \cdot 1 - 1}$

Etapa 5.5.9

Combine $4$ e $\frac{1024}{1024}$ .

$\frac{\frac{4 \cdot 1024}{1024} - \frac{1}{1024}}{4 \cdot 1 - 1}$

Etapa 5.5.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{4 \cdot 1024 - 1}{1024}}{4 \cdot 1 - 1}$

Etapa 5.5.11

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.5.11.1

Multiplique $4$ por $1024$ .

$\frac{\frac{4096 - 1}{1024}}{4 \cdot 1 - 1}$

Etapa 5.5.11.2

Subtraia $1$ de $4096$ .

$\frac{\frac{4095}{1024}}{4 \cdot 1 - 1}$

Etapa 5.6

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.6.1

Multiplique $4$ por $1$ .

$\frac{\frac{4095}{1024}}{4 - 1}$

Etapa 5.6.2

Subtraia $1$ de $4$ .

$\frac{\frac{4095}{1024}}{3}$

Etapa 5.7

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{4095}{1024} \cdot \frac{1}{3}$

Etapa 5.8

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.8.1

Fatore $3$ de $4095$ .

$\frac{3 (1365)}{1024} \cdot \frac{1}{3}$

Etapa 5.8.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot 1365}{1024} \cdot \frac{1}{3}$

Etapa 5.8.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1365}{1024}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1365}{1024}$

Forma decimal:

$1.33300781 \dots$

Forma de número misto:

$1 \frac{341}{1024}$