Cálculo Exemplos

$f (x) = \sqrt[3]{x + 4}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x + 4}$ como ${(x + 4)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = x + 4$ .

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Etapa 1.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 4$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x + 4]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 4]$

Etapa 1.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 4$ .

$\frac{1}{3} {(x + 4)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 4]$

Etapa 1.1.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(x + 4)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 4]$

Etapa 1.1.4

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(x + 4)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 4]$

Etapa 1.1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{3} {(x + 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 4]$

Etapa 1.1.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.6.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{1}{3} {(x + 4)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 4]$

Etapa 1.1.6.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$\frac{1}{3} {(x + 4)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x + 4]$

Etapa 1.1.7

Combine frações.

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Etapa 1.1.7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{3} {(x + 4)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x + 4]$

Etapa 1.1.7.2

Combine $\frac{1}{3}$ e ${(x + 4)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(x + 4)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x + 4]$

Etapa 1.1.7.3

Mova ${(x + 4)}^{- \frac{2}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 4]$

Etapa 1.1.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

Etapa 1.1.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [4])$

Etapa 1.1.10

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}} (1 + 0)$

Etapa 1.1.11

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.11.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1$

Etapa 1.1.11.2

Multiplique $\frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}}$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$1 = 0$

Etapa 2.3

Como $1 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\frac{1}{3 \sqrt[3]{{(x + 4)}^{2}}}$

Etapa 3.2

Defina o denominador em $\frac{1}{3 \sqrt[3]{{(x + 4)}^{2}}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$3 \sqrt[3]{{(x + 4)}^{2}} = 0$

Etapa 3.3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao cubo os dois lados da equação.

${(3 \sqrt[3]{{(x + 4)}^{2}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 3.3.2

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 3.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{{(x + 4)}^{2}}$ como ${(x + 4)}^{\frac{2}{3}}$ .

${(3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 3.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.2.2.1

Simplifique ${(3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Etapa 3.3.2.2.1.1

Aplique a regra do produto a $3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}$ .

$3^{3} {({(x + 4)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 3.3.2.2.1.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$27 {({(x + 4)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 3.3.2.2.1.3

Multiplique os expoentes em ${({(x + 4)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Etapa 3.3.2.2.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(x + 4)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 3.3.2.2.1.3.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.3.2.2.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$27 {(x + 4)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 3.3.2.2.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$27 {(x + 4)}^{2} = 0^{3}$

Etapa 3.3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$27 {(x + 4)}^{2} = 0$

Etapa 3.3.3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.3.3.1

Divida cada termo em $27 {(x + 4)}^{2} = 0$ por $27$ e simplifique.

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Etapa 3.3.3.1.1

Divida cada termo em $27 {(x + 4)}^{2} = 0$ por $27$ .

$\frac{27 {(x + 4)}^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Etapa 3.3.3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.3.1.2.1

Cancele o fator comum de $27$ .

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Etapa 3.3.3.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{27 {(x + 4)}^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Etapa 3.3.3.1.2.1.2

Divida ${(x + 4)}^{2}$ por $1$ .

${(x + 4)}^{2} = \frac{0}{27}$

Etapa 3.3.3.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.3.1.3.1

Divida $0$ por $27$ .

${(x + 4)}^{2} = 0$

Etapa 3.3.3.2

Defina $x + 4$ como igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Etapa 3.3.3.3

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x = - 4$

Etapa 4

Avalie $\sqrt[3]{x + 4}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = - 4$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $- 4$ por $x$ .

$\sqrt[3]{(- 4) + 4}$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Some $- 4$ e $4$ .

$\sqrt[3]{0}$

Etapa 4.1.2.2

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$\sqrt[3]{0^{3}}$

Etapa 4.1.2.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$0$

Etapa 4.2

Liste todos os pontos.

$(- 4, 0)$

Etapa 5