Cálculo Exemplos

$f (x) = {(x - 1)}^{2} (x - 3)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Reescreva ${(x - 1)}^{2}$ como $(x - 1) (x - 1)$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x - 1) (x - 1) (x - 3))$

Etapa 1.1.2

Expanda $(x - 1) (x - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x (x - 1) - 1 (x - 1)) (x - 3))$

Etapa 1.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) (x - 3))$

Etapa 1.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) (x - 3))$

Etapa 1.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) (x - 3))$

Etapa 1.1.3.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) (x - 3))$

Etapa 1.1.3.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) (x - 3))$

Etapa 1.1.3.1.4

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) (x - 3))$

Etapa 1.1.3.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x^{2} - x - x + 1) (x - 3))$

Etapa 1.1.3.2

Subtraia $x$ de $- x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x^{2} - 2 x + 1) (x - 3))$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2} - 2 x + 1$ e $g (x) = x - 3$ .

$f' (x) = (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} (x - 3) + (x - 3) \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x + 1)$

Etapa 1.1.5

Diferencie.

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Etapa 1.1.5.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f' (x) = (x^{2} - 2 x + 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3)) + (x - 3) \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x + 1)$

Etapa 1.1.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = (x^{2} - 2 x + 1) (1 + \frac{d}{d x} (- 3)) + (x - 3) \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x + 1)$

Etapa 1.1.5.3

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = (x^{2} - 2 x + 1) (1 + 0) + (x - 3) \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x + 1)$

Etapa 1.1.5.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.5.4.1

Some $1$ e $0$ .

$f' (x) = (x^{2} - 2 x + 1) \cdot 1 + (x - 3) \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x + 1)$

Etapa 1.1.5.4.2

Multiplique $x^{2} - 2 x + 1$ por $1$ .

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + (x - 3) \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x + 1)$

Etapa 1.1.5.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 2 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + (x - 3) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (1))$

Etapa 1.1.5.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + (x - 3) (2 x + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (1))$

Etapa 1.1.5.7

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + (x - 3) (2 x - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1))$

Etapa 1.1.5.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + (x - 3) (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1))$

Etapa 1.1.5.9

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + (x - 3) (2 x - 2 + \frac{d}{d x} (1))$

Etapa 1.1.5.10

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + (x - 3) (2 x - 2 + 0)$

Etapa 1.1.5.11

Some $2 x - 2$ e $0$ .

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + (x - 3) (2 x - 2)$

Etapa 1.1.6

Simplifique.

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Etapa 1.1.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + (x - 3) (2 x) + (x - 3) \cdot - 2$

Etapa 1.1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + x (2 x) - 3 (2 x) + (x - 3) \cdot - 2$

Etapa 1.1.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + x (2 x) - 3 (2 x) + x \cdot - 2 - 3 \cdot - 2$

Etapa 1.1.6.4

Combine os termos.

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Etapa 1.1.6.4.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + 2 (x \cdot x) - 3 (2 x) + x \cdot - 2 - 3 \cdot - 2$

Etapa 1.1.6.4.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + 2 (x \cdot x) - 3 (2 x) + x \cdot - 2 - 3 \cdot - 2$

Etapa 1.1.6.4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + 2 x^{1 + 1} - 3 (2 x) + x \cdot - 2 - 3 \cdot - 2$

Etapa 1.1.6.4.4

Some $1$ e $1$ .

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + 2 x^{2} - 3 (2 x) + x \cdot - 2 - 3 \cdot - 2$

Etapa 1.1.6.4.5

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + 2 x^{2} - 6 x + x \cdot - 2 - 3 \cdot - 2$

Etapa 1.1.6.4.6

Mova $- 2$ para a esquerda de $x$ .

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + 2 x^{2} - 6 x - 2 \cdot x - 3 \cdot - 2$

Etapa 1.1.6.4.7

Multiplique $- 3$ por $- 2$ .

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + 2 x^{2} - 6 x - 2 x + 6$

Etapa 1.1.6.4.8

Subtraia $2 x$ de $- 6 x$ .

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + 2 x^{2} - 8 x + 6$

Etapa 1.1.6.4.9

Some $x^{2}$ e $2 x^{2}$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 2 x + 1 - 8 x + 6$

Etapa 1.1.6.4.10

Subtraia $8 x$ de $- 2 x$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 10 x + 1 + 6$

Etapa 1.1.6.4.11

Some $1$ e $6$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 10 x + 7$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $3 x^{2} - 10 x + 7$ .

$3 x^{2} - 10 x + 7$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $3 x^{2} - 10 x + 7 = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$3 x^{2} - 10 x + 7 = 0$

Etapa 2.2

Fatore por agrupamento.

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Etapa 2.2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 3 \cdot 7 = 21$ e cuja soma é $b = - 10$ .

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Etapa 2.2.1.1

Fatore $- 10$ de $- 10 x$ .

$3 x^{2} - 10 x + 7 = 0$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva $- 10$ como $- 3$ mais $- 7$

$3 x^{2} + (- 3 - 7) x + 7 = 0$

Etapa 2.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{2} - 3 x - 7 x + 7 = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 2.2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(3 x^{2} - 3 x) - 7 x + 7 = 0$

Etapa 2.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$3 x (x - 1) - 7 (x - 1) = 0$

Etapa 2.2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x - 1$ .

$(x - 1) (3 x - 7) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

$3 x - 7 = 0$

Etapa 2.4

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 2.4.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 2.5

Defina $3 x - 7$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $3 x - 7$ como igual a $0$ .

$3 x - 7 = 0$

Etapa 2.5.2

Resolva $3 x - 7 = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.5.2.1

Some $7$ aos dois lados da equação.

$3 x = 7$

Etapa 2.5.2.2

Divida cada termo em $3 x = 7$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 2.5.2.2.1

Divida cada termo em $3 x = 7$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

Etapa 2.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 2.5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

Etapa 2.5.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{7}{3}$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 1) (3 x - 7) = 0$ verdadeiro.

$x = 1, \frac{7}{3}$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 4

Avalie ${(x - 1)}^{2} (x - 3)$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = 1$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $1$ por $x$ .

${((1) - 1)}^{2} ((1) - 3)$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$0^{2} ((1) - 3)$

Etapa 4.1.2.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 ((1) - 3)$

Etapa 4.1.2.3

Subtraia $3$ de $1$ .

$0 \cdot - 2$

Etapa 4.1.2.4

Multiplique $0$ por $- 2$ .

$0$

Etapa 4.2

Avalie em $x = \frac{7}{3}$ .

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Etapa 4.2.1

Substitua $\frac{7}{3}$ por $x$ .

${((\frac{7}{3}) - 1)}^{2} ((\frac{7}{3}) - 3)$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

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Etapa 4.2.2.1

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

${(\frac{7}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3})}^{2} ((\frac{7}{3}) - 3)$

Etapa 4.2.2.2

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

${(\frac{7}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3})}^{2} ((\frac{7}{3}) - 3)$

Etapa 4.2.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

${(\frac{7 - 1 \cdot 3}{3})}^{2} ((\frac{7}{3}) - 3)$

Etapa 4.2.2.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.2.2.4.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

${(\frac{7 - 3}{3})}^{2} ((\frac{7}{3}) - 3)$

Etapa 4.2.2.4.2

Subtraia $3$ de $7$ .

${(\frac{4}{3})}^{2} ((\frac{7}{3}) - 3)$

Etapa 4.2.2.5

Aplique a regra do produto a $\frac{4}{3}$ .

$\frac{4^{2}}{3^{2}} ((\frac{7}{3}) - 3)$

Etapa 4.2.2.6

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\frac{16}{3^{2}} ((\frac{7}{3}) - 3)$

Etapa 4.2.2.7

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\frac{16}{9} ((\frac{7}{3}) - 3)$

Etapa 4.2.2.8

Para escrever $- 3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{16}{9} (\frac{7}{3} - 3 \cdot \frac{3}{3})$

Etapa 4.2.2.9

Combine $- 3$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{16}{9} (\frac{7}{3} + \frac{- 3 \cdot 3}{3})$

Etapa 4.2.2.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{16}{9} \cdot \frac{7 - 3 \cdot 3}{3}$

Etapa 4.2.2.11

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.2.2.11.1

Multiplique $- 3$ por $3$ .

$\frac{16}{9} \cdot \frac{7 - 9}{3}$

Etapa 4.2.2.11.2

Subtraia $9$ de $7$ .

$\frac{16}{9} \cdot \frac{- 2}{3}$

Etapa 4.2.2.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{16}{9} (- \frac{2}{3})$

Etapa 4.2.2.13

Multiplique $\frac{16}{9} (- \frac{2}{3})$ .

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Etapa 4.2.2.13.1

Multiplique $\frac{16}{9}$ por $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{16 \cdot 2}{9 \cdot 3}$

Etapa 4.2.2.13.2

Multiplique $16$ por $2$ .

$- \frac{32}{9 \cdot 3}$

Etapa 4.2.2.13.3

Multiplique $9$ por $3$ .

$- \frac{32}{27}$

Etapa 4.3

Liste todos os pontos.

$(1, 0), (\frac{7}{3}, - \frac{32}{27})$

Etapa 5