Cálculo Exemplos

$f (x) = {(x + 5)}^{\frac{4}{5}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{4}{5}}$ e $g (x) = x + 5$ .

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Etapa 1.1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 5$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{4}{5}}] \frac{d}{d x} [x + 5]$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{4}{5}$ .

$\frac{4}{5} u^{\frac{4}{5} - 1} \frac{d}{d x} [x + 5]$

Etapa 1.1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 5$ .

$\frac{4}{5} {(x + 5)}^{\frac{4}{5} - 1} \frac{d}{d x} [x + 5]$

Etapa 1.1.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{4}{5} {(x + 5)}^{\frac{4}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} \frac{d}{d x} [x + 5]$

Etapa 1.1.3

Combine $- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$\frac{4}{5} {(x + 5)}^{\frac{4}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [x + 5]$

Etapa 1.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{4}{5} {(x + 5)}^{\frac{4 - 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [x + 5]$

Etapa 1.1.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.5.1

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$\frac{4}{5} {(x + 5)}^{\frac{4 - 5}{5}} \frac{d}{d x} [x + 5]$

Etapa 1.1.5.2

Subtraia $5$ de $4$ .

$\frac{4}{5} {(x + 5)}^{\frac{- 1}{5}} \frac{d}{d x} [x + 5]$

Etapa 1.1.6

Combine frações.

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Etapa 1.1.6.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{4}{5} {(x + 5)}^{- \frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x + 5]$

Etapa 1.1.6.2

Combine $\frac{4}{5}$ e ${(x + 5)}^{- \frac{1}{5}}$ .

$\frac{4 {(x + 5)}^{- \frac{1}{5}}}{5} \frac{d}{d x} [x + 5]$

Etapa 1.1.6.3

Mova ${(x + 5)}^{- \frac{1}{5}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{5 {(x + 5)}^{\frac{1}{5}}} \frac{d}{d x} [x + 5]$

Etapa 1.1.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{4}{5 {(x + 5)}^{\frac{1}{5}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Etapa 1.1.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{4}{5 {(x + 5)}^{\frac{1}{5}}} (1 + \frac{d}{d x} [5])$

Etapa 1.1.9

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{4}{5 {(x + 5)}^{\frac{1}{5}}} (1 + 0)$

Etapa 1.1.10

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.10.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{4}{5 {(x + 5)}^{\frac{1}{5}}} \cdot 1$

Etapa 1.1.10.2

Multiplique $\frac{4}{5 {(x + 5)}^{\frac{1}{5}}}$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{4}{5 {(x + 5)}^{\frac{1}{5}}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{4}{5 {(x + 5)}^{\frac{1}{5}}}$ .

$\frac{4}{5 {(x + 5)}^{\frac{1}{5}}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{4}{5 {(x + 5)}^{\frac{1}{5}}} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{4}{5 {(x + 5)}^{\frac{1}{5}}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$4 = 0$

Etapa 2.3

Como $4 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

Converta expressões com expoentes fracionários em radicais.

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Etapa 3.1.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\frac{4}{5 \sqrt[5]{{(x + 5)}^{1}}}$

Etapa 3.1.2

Qualquer número elevado a $1$ é a própria base.

$\frac{4}{5 \sqrt[5]{x + 5}}$

Etapa 3.2

Defina o denominador em $\frac{4}{5 \sqrt[5]{x + 5}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$5 \sqrt[5]{x + 5} = 0$

Etapa 3.3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve os dois lados da equação à $5$ ª potência.

${(5 \sqrt[5]{x + 5})}^{5} = 0^{5}$

Etapa 3.3.2

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 3.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[5]{x + 5}$ como ${(x + 5)}^{\frac{1}{5}}$ .

${(5 {(x + 5)}^{\frac{1}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Etapa 3.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.2.2.1

Simplifique ${(5 {(x + 5)}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Etapa 3.3.2.2.1.1

Aplique a regra do produto a $5 {(x + 5)}^{\frac{1}{5}}$ .

$5^{5} {({(x + 5)}^{\frac{1}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Etapa 3.3.2.2.1.2

Eleve $5$ à potência de $5$ .

$3125 {({(x + 5)}^{\frac{1}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Etapa 3.3.2.2.1.3

Multiplique os expoentes em ${({(x + 5)}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Etapa 3.3.2.2.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3125 {(x + 5)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Etapa 3.3.2.2.1.3.2

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 3.3.2.2.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$3125 {(x + 5)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Etapa 3.3.2.2.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$3125 {(x + 5)}^{1} = 0^{5}$

Etapa 3.3.2.2.1.4

Simplifique.

$3125 (x + 5) = 0^{5}$

Etapa 3.3.2.2.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$3125 x + 3125 \cdot 5 = 0^{5}$

Etapa 3.3.2.2.1.6

Multiplique $3125$ por $5$ .

$3125 x + 15625 = 0^{5}$

Etapa 3.3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$3125 x + 15625 = 0$

Etapa 3.3.3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.3.3.1

Subtraia $15625$ dos dois lados da equação.

$3125 x = - 15625$

Etapa 3.3.3.2

Divida cada termo em $3125 x = - 15625$ por $3125$ e simplifique.

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Etapa 3.3.3.2.1

Divida cada termo em $3125 x = - 15625$ por $3125$ .

$\frac{3125 x}{3125} = \frac{- 15625}{3125}$

Etapa 3.3.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $3125$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3125 x}{3125} = \frac{- 15625}{3125}$

Etapa 3.3.3.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 15625}{3125}$

Etapa 3.3.3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.3.2.3.1

Divida $- 15625$ por $3125$ .

$x = - 5$

Etapa 4

Avalie ${(x + 5)}^{\frac{4}{5}}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = - 5$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $- 5$ por $x$ .

${((- 5) + 5)}^{\frac{4}{5}}$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.1.2.1.1

Some $- 5$ e $5$ .

$0^{\frac{4}{5}}$

Etapa 4.1.2.1.2

Reescreva $0$ como $0^{5}$ .

${(0^{5})}^{\frac{4}{5}}$

Etapa 4.1.2.1.3

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0^{5 (\frac{4}{5})}$

Etapa 4.1.2.2

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 4.1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$0^{5 (\frac{4}{5})}$

Etapa 4.1.2.2.2

Reescreva a expressão.

$0^{4}$

Etapa 4.1.2.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0$

Etapa 4.2

Liste todos os pontos.

$(- 5, 0)$

Etapa 5