Cálculo Exemplos

$f (x) = {(x - 8)}^{2} (x + 9)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Reescreva ${(x - 8)}^{2}$ como $(x - 8) (x - 8)$ .

$\frac{d}{d x} [(x - 8) (x - 8) (x + 9)]$

Etapa 1.1.2

Expanda $(x - 8) (x - 8)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [(x (x - 8) - 8 (x - 8)) (x + 9)]$

Etapa 1.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot - 8 - 8 (x - 8)) (x + 9)]$

Etapa 1.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot - 8 - 8 x - 8 \cdot - 8) (x + 9)]$

Etapa 1.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + x \cdot - 8 - 8 x - 8 \cdot - 8) (x + 9)]$

Etapa 1.1.3.1.2

Mova $- 8$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - 8 \cdot x - 8 x - 8 \cdot - 8) (x + 9)]$

Etapa 1.1.3.1.3

Multiplique $- 8$ por $- 8$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - 8 x - 8 x + 64) (x + 9)]$

Etapa 1.1.3.2

Subtraia $8 x$ de $- 8 x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - 16 x + 64) (x + 9)]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2} - 16 x + 64$ e $g (x) = x + 9$ .

$(x^{2} - 16 x + 64) \frac{d}{d x} [x + 9] + (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16 x + 64]$

Etapa 1.1.5

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$(x^{2} - 16 x + 64) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]) + (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16 x + 64]$

Etapa 1.1.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(x^{2} - 16 x + 64) (1 + \frac{d}{d x} [9]) + (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16 x + 64]$

Etapa 1.1.5.3

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9$ em relação a $x$ é $0$ .

$(x^{2} - 16 x + 64) (1 + 0) + (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16 x + 64]$

Etapa 1.1.5.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.4.1

Some $1$ e $0$ .

$(x^{2} - 16 x + 64) \cdot 1 + (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16 x + 64]$

Etapa 1.1.5.4.2

Multiplique $x^{2} - 16 x + 64$ por $1$ .

$x^{2} - 16 x + 64 + (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16 x + 64]$

Etapa 1.1.5.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 16 x + 64$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [64]$ .

$x^{2} - 16 x + 64 + (x + 9) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [64])$

Etapa 1.1.5.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{2} - 16 x + 64 + (x + 9) (2 x + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [64])$

Etapa 1.1.5.7

Como $- 16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 16 x$ em relação a $x$ é $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} - 16 x + 64 + (x + 9) (2 x - 16 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [64])$

Etapa 1.1.5.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{2} - 16 x + 64 + (x + 9) (2 x - 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [64])$

Etapa 1.1.5.9

Multiplique $- 16$ por $1$ .

$x^{2} - 16 x + 64 + (x + 9) (2 x - 16 + \frac{d}{d x} [64])$

Etapa 1.1.5.10

Como $64$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $64$ em relação a $x$ é $0$ .

$x^{2} - 16 x + 64 + (x + 9) (2 x - 16 + 0)$

Etapa 1.1.5.11

Some $2 x - 16$ e $0$ .

$x^{2} - 16 x + 64 + (x + 9) (2 x - 16)$

Etapa 1.1.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} - 16 x + 64 + (x + 9) (2 x) + (x + 9) \cdot - 16$

Etapa 1.1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} - 16 x + 64 + x (2 x) + 9 (2 x) + (x + 9) \cdot - 16$

Etapa 1.1.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} - 16 x + 64 + x (2 x) + 9 (2 x) + x \cdot - 16 + 9 \cdot - 16$

Etapa 1.1.6.4

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.6.4.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{2} - 16 x + 64 + 2 (x^{1} x) + 9 (2 x) + x \cdot - 16 + 9 \cdot - 16$

Etapa 1.1.6.4.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{2} - 16 x + 64 + 2 (x^{1} x^{1}) + 9 (2 x) + x \cdot - 16 + 9 \cdot - 16$

Etapa 1.1.6.4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{2} - 16 x + 64 + 2 x^{1 + 1} + 9 (2 x) + x \cdot - 16 + 9 \cdot - 16$

Etapa 1.1.6.4.4

Some $1$ e $1$ .

$x^{2} - 16 x + 64 + 2 x^{2} + 9 (2 x) + x \cdot - 16 + 9 \cdot - 16$

Etapa 1.1.6.4.5

Multiplique $2$ por $9$ .

$x^{2} - 16 x + 64 + 2 x^{2} + 18 x + x \cdot - 16 + 9 \cdot - 16$

Etapa 1.1.6.4.6

Mova $- 16$ para a esquerda de $x$ .

$x^{2} - 16 x + 64 + 2 x^{2} + 18 x - 16 \cdot x + 9 \cdot - 16$

Etapa 1.1.6.4.7

Multiplique $9$ por $- 16$ .

$x^{2} - 16 x + 64 + 2 x^{2} + 18 x - 16 x - 144$

Etapa 1.1.6.4.8

Subtraia $16 x$ de $18 x$ .

$x^{2} - 16 x + 64 + 2 x^{2} + 2 x - 144$

Etapa 1.1.6.4.9

Some $x^{2}$ e $2 x^{2}$ .

$3 x^{2} - 16 x + 64 + 2 x - 144$

Etapa 1.1.6.4.10

Some $- 16 x$ e $2 x$ .

$3 x^{2} - 14 x + 64 - 144$

Etapa 1.1.6.4.11

Subtraia $144$ de $64$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 14 x - 80$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $3 x^{2} - 14 x - 80$ .

$3 x^{2} - 14 x - 80$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $3 x^{2} - 14 x - 80 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$3 x^{2} - 14 x - 80 = 0$

Etapa 2.2

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 3 \cdot - 80 = - 240$ e cuja soma é $b = - 14$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Fatore $- 14$ de $- 14 x$ .

$3 x^{2} - 14 x - 80 = 0$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva $- 14$ como $10$ mais $- 24$

$3 x^{2} + (10 - 24) x - 80 = 0$

Etapa 2.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{2} + 10 x - 24 x - 80 = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(3 x^{2} + 10 x) - 24 x - 80 = 0$

Etapa 2.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$x (3 x + 10) - 8 (3 x + 10) = 0$

Etapa 2.2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $3 x + 10$ .

$(3 x + 10) (x - 8) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$3 x + 10 = 0$

$x - 8 = 0$

Etapa 2.4

Defina $3 x + 10$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Defina $3 x + 10$ como igual a $0$ .

$3 x + 10 = 0$

Etapa 2.4.2

Resolva $3 x + 10 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Subtraia $10$ dos dois lados da equação.

$3 x = - 10$

Etapa 2.4.2.2

Divida cada termo em $3 x = - 10$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.1

Divida cada termo em $3 x = - 10$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 10}{3}$

Etapa 2.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 10}{3}$

Etapa 2.4.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 10}{3}$

Etapa 2.4.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{10}{3}$

Etapa 2.5

Defina $x - 8$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Defina $x - 8$ como igual a $0$ .

$x - 8 = 0$

Etapa 2.5.2

Some $8$ aos dois lados da equação.

$x = 8$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $(3 x + 10) (x - 8) = 0$ verdadeiro.

$x = - \frac{10}{3}, 8$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 4

Avalie ${(x - 8)}^{2} (x + 9)$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Avalie em $x = - \frac{10}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua $- \frac{10}{3}$ por $x$ .

${((- \frac{10}{3}) - 8)}^{2} ((- \frac{10}{3}) + 9)$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Para escrever $- 8$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

${(- \frac{10}{3} - 8 \cdot \frac{3}{3})}^{2} ((- \frac{10}{3}) + 9)$

Etapa 4.1.2.2

Combine $- 8$ e $\frac{3}{3}$ .

${(- \frac{10}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3})}^{2} ((- \frac{10}{3}) + 9)$

Etapa 4.1.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

${(\frac{- 10 - 8 \cdot 3}{3})}^{2} ((- \frac{10}{3}) + 9)$

Etapa 4.1.2.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.4.1

Multiplique $- 8$ por $3$ .

${(\frac{- 10 - 24}{3})}^{2} ((- \frac{10}{3}) + 9)$

Etapa 4.1.2.4.2

Subtraia $24$ de $- 10$ .

${(\frac{- 34}{3})}^{2} ((- \frac{10}{3}) + 9)$

Etapa 4.1.2.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

${(- \frac{34}{3})}^{2} ((- \frac{10}{3}) + 9)$

Etapa 4.1.2.6

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.6.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{34}{3}$ .

${(- 1)}^{2} {(\frac{34}{3})}^{2} ((- \frac{10}{3}) + 9)$

Etapa 4.1.2.6.2

Aplique a regra do produto a $\frac{34}{3}$ .

${(- 1)}^{2} \frac{34^{2}}{3^{2}} ((- \frac{10}{3}) + 9)$

Etapa 4.1.2.7

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$1 \frac{34^{2}}{3^{2}} ((- \frac{10}{3}) + 9)$

Etapa 4.1.2.8

Multiplique $\frac{34^{2}}{3^{2}}$ por $1$ .

$\frac{34^{2}}{3^{2}} ((- \frac{10}{3}) + 9)$

Etapa 4.1.2.9

Eleve $34$ à potência de $2$ .

$\frac{1156}{3^{2}} ((- \frac{10}{3}) + 9)$

Etapa 4.1.2.10

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\frac{1156}{9} ((- \frac{10}{3}) + 9)$

Etapa 4.1.2.11

Para escrever $9$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1156}{9} (- \frac{10}{3} + 9 \cdot \frac{3}{3})$

Etapa 4.1.2.12

Combine $9$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1156}{9} (- \frac{10}{3} + \frac{9 \cdot 3}{3})$

Etapa 4.1.2.13

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1156}{9} \cdot \frac{- 10 + 9 \cdot 3}{3}$

Etapa 4.1.2.14

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.14.1

Multiplique $9$ por $3$ .

$\frac{1156}{9} \cdot \frac{- 10 + 27}{3}$

Etapa 4.1.2.14.2

Some $- 10$ e $27$ .

$\frac{1156}{9} \cdot \frac{17}{3}$

Etapa 4.1.2.15

Multiplique $\frac{1156}{9} \cdot \frac{17}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.15.1

Multiplique $\frac{1156}{9}$ por $\frac{17}{3}$ .

$\frac{1156 \cdot 17}{9 \cdot 3}$

Etapa 4.1.2.15.2

Multiplique $1156$ por $17$ .

$\frac{19652}{9 \cdot 3}$

Etapa 4.1.2.15.3

Multiplique $9$ por $3$ .

$\frac{19652}{27}$

Etapa 4.2

Avalie em $x = 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Substitua $8$ por $x$ .

${((8) - 8)}^{2} ((8) + 9)$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Subtraia $8$ de $8$ .

$0^{2} ((8) + 9)$

Etapa 4.2.2.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 ((8) + 9)$

Etapa 4.2.2.3

Some $8$ e $9$ .

$0 \cdot 17$

Etapa 4.2.2.4

Multiplique $0$ por $17$ .

$0$

Etapa 4.3

Liste todos os pontos.

$(- \frac{10}{3}, \frac{19652}{27}), (8, 0)$

Etapa 5