Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{{(x - 1)}^{2}}{x - 3}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = {(x - 1)}^{2}$ e $g (x) = x - 3$ .

$f' (x) = \frac{(x - 3) \frac{d}{d x} ({(x - 1)}^{2}) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x - 1$ .

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Etapa 1.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 1$ .

$f' (x) = \frac{(x - 3) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x - 1)) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x - 3) (2 u \frac{d}{d x} (x - 1)) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 1$ .

$f' (x) = \frac{(x - 3) (2 (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 1)) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.3

Diferencie.

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Etapa 1.1.3.1

Mova $2$ para a esquerda de $x - 3$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x - 3) (x - 1)) \frac{d}{d x} (x - 1) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) (x - 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} (- 1)) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) (x - 1) (1 + 0) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.3.5.1

Some $1$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) (x - 1) \cdot 1 - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3))}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 3))}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.8

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.9

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.3.9.1

Some $1$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.9.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) (x - 1) - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.4

Simplifique.

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Etapa 1.1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{(2 x + 2 \cdot - 3) (x - 1) - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.4.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.4.2.1.1

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$f' (x) = \frac{(2 x - 6) (x - 1) - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.4.2.1.2

Expanda $(2 x - 6) (x - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.1.4.2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{2 x (x - 1) - 6 (x - 1) - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.4.2.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 - 6 (x - 1) - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.4.2.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 - 6 x - 6 \cdot - 1 - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.4.2.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.1.4.2.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.4.2.1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.1.4.2.1.3.1.1.1

Mova $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 1 - 6 x - 6 \cdot - 1 - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.4.2.1.3.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 6 x - 6 \cdot - 1 - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.4.2.1.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 2 x - 6 x - 6 \cdot - 1 - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.4.2.1.3.1.3

Multiplique $- 6$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 2 x - 6 x + 6 - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.4.2.1.3.2

Subtraia $6 x$ de $- 2 x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.4.2.1.4

Reescreva ${(x - 1)}^{2}$ como $(x - 1) (x - 1)$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - ((x - 1) (x - 1))}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.4.2.1.5

Expanda $(x - 1) (x - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.1.4.2.1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - (x (x - 1) - 1 (x - 1))}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.4.2.1.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.4.2.1.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.4.2.1.6

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.1.4.2.1.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.4.2.1.6.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.4.2.1.6.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.4.2.1.6.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.4.2.1.6.1.4

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.4.2.1.6.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - (x^{2} - x - x + 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.4.2.1.6.2

Subtraia $x$ de $- x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - (x^{2} - 2 x + 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.4.2.1.7

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.4.2.1.8

Simplifique.

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Etapa 1.1.4.2.1.8.1

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - x^{2} + 2 x - 1 \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.4.2.1.8.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - x^{2} + 2 x - 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.4.2.2

Subtraia $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 8 x + 6 + 2 x - 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.4.2.3

Some $- 8 x$ e $2 x$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 6 x + 6 - 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.4.2.4

Subtraia $1$ de $6$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 6 x + 5}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.4.3

Fatore $x^{2} - 6 x + 5$ usando o método AC.

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Etapa 1.1.4.3.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $5$ e cuja soma é $- 6$ .

$- 5, - 1$

Etapa 1.1.4.3.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$f' (x) = \frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$ .

$\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$(x - 5) (x - 1) = 0$

Etapa 2.3

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 2.3.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

$x - 1 = 0$

Etapa 2.3.2

Defina $x - 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.3.2.1

Defina $x - 5$ como igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Etapa 2.3.2.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$x = 5$

Etapa 2.3.3

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.3.3.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 2.3.3.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 2.3.4

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 5) (x - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 5, 1$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

Defina o denominador em $\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

${(x - 3)}^{2} = 0$

Etapa 3.2

Resolva $x$ .

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Etapa 3.2.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 3.2.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 4

Avalie $\frac{{(x - 1)}^{2}}{x - 3}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = 5$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $5$ por $x$ .

$\frac{{((5) - 1)}^{2}}{(5) - 3}$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.2.1.1

Subtraia $1$ de $5$ .

$\frac{4^{2}}{5 - 3}$

Etapa 4.1.2.1.2

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\frac{16}{5 - 3}$

Etapa 4.1.2.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.1.2.2.1

Subtraia $3$ de $5$ .

$\frac{16}{2}$

Etapa 4.1.2.2.2

Divida $16$ por $2$ .

$8$

Etapa 4.2

Avalie em $x = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Substitua $1$ por $x$ .

$\frac{{((1) - 1)}^{2}}{(1) - 3}$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0^{2}}{1 - 3}$

Etapa 4.2.2.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0}{1 - 3}$

Etapa 4.2.2.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.2.1

Subtraia $3$ de $1$ .

$\frac{0}{- 2}$

Etapa 4.2.2.2.2

Divida $0$ por $- 2$ .

$0$

Etapa 4.3

Avalie em $x = 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua $3$ por $x$ .

$\frac{{((3) - 1)}^{2}}{(3) - 3}$

Etapa 4.3.2

Simplifique.

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Etapa 4.3.2.1

Subtraia $3$ de $3$ .

$\frac{{((3) - 1)}^{2}}{0}$

Etapa 4.3.2.2

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 4.4

Liste todos os pontos.

$(5, 8), (1, 0)$

Etapa 5