Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x - 3}{x^{2}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x - 3$ e $g (x) = x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (x - 3) - (x - 3) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{2}$ .

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Etapa 1.1.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (x - 3) - (x - 3) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}}$

Etapa 1.1.2.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (x - 3) - (x - 3) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 1.1.2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3)) - (x - 3) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 1.1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 3)) - (x - 3) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 1.1.2.4

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} (1 + 0) - (x - 3) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 1.1.2.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.2.5.1

Some $1$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} \cdot 1 - (x - 3) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.2

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - (x - 3) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 1.1.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - (x - 3) (2 x)}{x^{4}}$

Etapa 1.1.2.7

Simplifique com fatoração.

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Etapa 1.1.2.7.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 2 (x - 3) x}{x^{4}}$

Etapa 1.1.2.7.2

Fatore $x$ de $x^{2} - 2 (x - 3) x$ .

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Etapa 1.1.2.7.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x - 2 (x - 3) x}{x^{4}}$

Etapa 1.1.2.7.2.2

Fatore $x$ de $- 2 (x - 3) x$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x + x (- 2 (x - 3))}{x^{4}}$

Etapa 1.1.2.7.2.3

Fatore $x$ de $x \cdot x + x (- 2 (x - 3))$ .

$f' (x) = \frac{x (x - 2 (x - 3))}{x^{4}}$

Etapa 1.1.3

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.1.3.1

Fatore $x$ de $x^{4}$ .

$f' (x) = \frac{x (x - 2 (x - 3))}{x \cdot x^{3}}$

Etapa 1.1.3.2

Cancele o fator comum.

$f' (x) = \frac{x (x - 2 (x - 3))}{x \cdot x^{3}}$

Etapa 1.1.3.3

Reescreva a expressão.

$f' (x) = \frac{x - 2 (x - 3)}{x^{3}}$

Etapa 1.1.4

Simplifique.

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Etapa 1.1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{x - 2 x - 2 \cdot - 3}{x^{3}}$

Etapa 1.1.4.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.4.2.1

Multiplique $- 2$ por $- 3$ .

$f' (x) = \frac{x - 2 x + 6}{x^{3}}$

Etapa 1.1.4.2.2

Subtraia $2 x$ de $x$ .

$f' (x) = \frac{- x + 6}{x^{3}}$

Etapa 1.1.4.3

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$f' (x) = \frac{- (x) + 6}{x^{3}}$

Etapa 1.1.4.4

Reescreva $6$ como $- 1 (- 6)$ .

$f' (x) = \frac{- (x) - 1 \cdot - 6}{x^{3}}$

Etapa 1.1.4.5

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (- 6)$ .

$f' (x) = \frac{- (x - 6)}{x^{3}}$

Etapa 1.1.4.6

Reescreva $- (x - 6)$ como $- 1 (x - 6)$ .

$f' (x) = \frac{- 1 (x - 6)}{x^{3}}$

Etapa 1.1.4.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{x - 6}{x^{3}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{x - 6}{x^{3}}$ .

$- \frac{x - 6}{x^{3}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{x - 6}{x^{3}} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{x - 6}{x^{3}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$x - 6 = 0$

Etapa 2.3

Some $6$ aos dois lados da equação.

$x = 6$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

Defina o denominador em $\frac{x - 6}{x^{3}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{3} = 0$

Etapa 3.2

Resolva $x$ .

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Etapa 3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Etapa 3.2.2

Simplifique $\sqrt[3]{0}$ .

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Etapa 3.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Etapa 3.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$x = 0$

Etapa 4

Avalie $\frac{x - 3}{x^{2}}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = 6$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $6$ por $x$ .

$\frac{(6) - 3}{{(6)}^{2}}$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.1.2.1.1

Subtraia $3$ de $6$ .

$\frac{3}{6^{2}}$

Etapa 4.1.2.1.2

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$\frac{3}{36}$

Etapa 4.1.2.2

Cancele o fator comum de $3$ e $36$ .

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Etapa 4.1.2.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{3 (1)}{36}$

Etapa 4.1.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.1.2.2.2.1

Fatore $3$ de $36$ .

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 12}$

Etapa 4.1.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 12}$

Etapa 4.1.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{12}$

Etapa 4.2

Avalie em $x = 0$ .

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Etapa 4.2.1

Substitua $0$ por $x$ .

$\frac{(0) - 3}{{(0)}^{2}}$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

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Etapa 4.2.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{(0) - 3}{0}$

Etapa 4.2.2.2

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 4.3

Liste todos os pontos.

$(6, \frac{1}{12})$

Etapa 5