Cálculo Exemplos

$f (x) = {(4 x - 5)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ e $g (x) = 4 x - 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $4 x - 5$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [4 x - 5]$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 5]$

Etapa 1.1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 x - 5$ .

$\frac{2}{3} {(4 x - 5)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 5]$

Etapa 1.1.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(4 x - 5)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [4 x - 5]$

Etapa 1.1.3

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(4 x - 5)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [4 x - 5]$

Etapa 1.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2}{3} {(4 x - 5)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [4 x - 5]$

Etapa 1.1.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.5.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{2}{3} {(4 x - 5)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [4 x - 5]$

Etapa 1.1.5.2

Subtraia $3$ de $2$ .

$\frac{2}{3} {(4 x - 5)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [4 x - 5]$

Etapa 1.1.6

Combine frações.

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Etapa 1.1.6.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{2}{3} {(4 x - 5)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [4 x - 5]$

Etapa 1.1.6.2

Combine $\frac{2}{3}$ e ${(4 x - 5)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [4 x - 5]$

Etapa 1.1.6.3

Mova ${(4 x - 5)}^{- \frac{1}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [4 x - 5]$

Etapa 1.1.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{2}{3 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Etapa 1.1.8

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{3 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}}} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Etapa 1.1.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{2}{3 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}}} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Etapa 1.1.10

Multiplique $4$ por $1$ .

$\frac{2}{3 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}}} (4 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Etapa 1.1.11

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{2}{3 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}}} (4 + 0)$

Etapa 1.1.12

Combine frações.

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Etapa 1.1.12.1

Some $4$ e $0$ .

$\frac{2}{3 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 4$

Etapa 1.1.12.2

Combine $\frac{2}{3 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}}}$ e $4$ .

$\frac{2 \cdot 4}{3 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.1.12.3

Multiplique $2$ por $4$ .

$f' (x) = \frac{8}{3 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{8}{3 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{8}{3 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{8}{3 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{8}{3 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$8 = 0$

Etapa 2.3

Como $8 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

Converta expressões com expoentes fracionários em radicais.

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Etapa 3.1.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\frac{8}{3 \sqrt[3]{{(4 x - 5)}^{1}}}$

Etapa 3.1.2

Qualquer número elevado a $1$ é a própria base.

$\frac{8}{3 \sqrt[3]{4 x - 5}}$

Etapa 3.2

Defina o denominador em $\frac{8}{3 \sqrt[3]{4 x - 5}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$3 \sqrt[3]{4 x - 5} = 0$

Etapa 3.3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao cubo os dois lados da equação.

${(3 \sqrt[3]{4 x - 5})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 3.3.2

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 3.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{4 x - 5}$ como ${(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}}$ .

${(3 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 3.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.2.2.1

Simplifique ${(3 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1.1

Aplique a regra do produto a $3 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {({(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 3.3.2.2.1.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$27 {({(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 3.3.2.2.1.3

Multiplique os expoentes em ${({(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Etapa 3.3.2.2.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 3.3.2.2.1.3.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$27 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 3.3.2.2.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$27 {(4 x - 5)}^{1} = 0^{3}$

Etapa 3.3.2.2.1.4

Simplifique.

$27 (4 x - 5) = 0^{3}$

Etapa 3.3.2.2.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$27 (4 x) + 27 \cdot - 5 = 0^{3}$

Etapa 3.3.2.2.1.6

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1.6.1

Multiplique $4$ por $27$ .

$108 x + 27 \cdot - 5 = 0^{3}$

Etapa 3.3.2.2.1.6.2

Multiplique $27$ por $- 5$ .

$108 x - 135 = 0^{3}$

Etapa 3.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$108 x - 135 = 0$

Etapa 3.3.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Some $135$ aos dois lados da equação.

$108 x = 135$

Etapa 3.3.3.2

Divida cada termo em $108 x = 135$ por $108$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.1

Divida cada termo em $108 x = 135$ por $108$ .

$\frac{108 x}{108} = \frac{135}{108}$

Etapa 3.3.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $108$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{108 x}{108} = \frac{135}{108}$

Etapa 3.3.3.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{135}{108}$

Etapa 3.3.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.3.1

Cancele o fator comum de $135$ e $108$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.3.1.1

Fatore $27$ de $135$ .

$x = \frac{27 (5)}{108}$

Etapa 3.3.3.2.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.3.1.2.1

Fatore $27$ de $108$ .

$x = \frac{27 \cdot 5}{27 \cdot 4}$

Etapa 3.3.3.2.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$x = \frac{27 \cdot 5}{27 \cdot 4}$

Etapa 3.3.3.2.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{5}{4}$

Etapa 4

Avalie ${(4 x - 5)}^{\frac{2}{3}}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = \frac{5}{4}$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $\frac{5}{4}$ por $x$ .

${(4 (\frac{5}{4}) - 5)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

${(4 (\frac{5}{4}) - 5)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.1.2.1.2

Reescreva a expressão.

${(5 - 5)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.1.2.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.2.1

Subtraia $5$ de $5$ .

$0^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.1.2.2.2

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

${(0^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.1.2.2.3

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0^{3 (\frac{2}{3})}$

Etapa 4.1.2.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.3.1

Cancele o fator comum.

$0^{3 (\frac{2}{3})}$

Etapa 4.1.2.3.2

Reescreva a expressão.

$0^{2}$

Etapa 4.1.2.4

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0$

Etapa 4.2

Liste todos os pontos.

$(\frac{5}{4}, 0)$

Etapa 5