Cálculo Exemplos

$f (x) = {(x^{2} - 4)}^{7}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{7}$ e $g (x) = x^{2} - 4$ .

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Etapa 1.1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} - 4$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{7}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 7$ .

$f' (x) = 7 u^{6} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)$

Etapa 1.1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} - 4$ .

$f' (x) = 7 {(x^{2} - 4)}^{6} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = 7 {(x^{2} - 4)}^{6} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4))$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 7 {(x^{2} - 4)}^{6} (2 x + \frac{d}{d x} (- 4))$

Etapa 1.1.2.3

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = 7 {(x^{2} - 4)}^{6} (2 x + 0)$

Etapa 1.1.2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.2.4.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = 7 {(x^{2} - 4)}^{6} (2 x)$

Etapa 1.1.2.4.2

Multiplique $2$ por $7$ .

$f' (x) = 14 {(x^{2} - 4)}^{6} x$

Etapa 1.1.2.4.3

Reordene os fatores de $14 {(x^{2} - 4)}^{6} x$ .

$f' (x) = 14 x {(x^{2} - 4)}^{6}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $14 x {(x^{2} - 4)}^{6}$ .

$14 x {(x^{2} - 4)}^{6}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $14 x {(x^{2} - 4)}^{6} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$14 x {(x^{2} - 4)}^{6} = 0$

Etapa 2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

${(x^{2} - 4)}^{6} = 0$

Etapa 2.3

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.4

Defina ${(x^{2} - 4)}^{6}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina ${(x^{2} - 4)}^{6}$ como igual a $0$ .

${(x^{2} - 4)}^{6} = 0$

Etapa 2.4.2

Resolva ${(x^{2} - 4)}^{6} = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.4.2.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.4.2.1.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

${(x^{2} - 2^{2})}^{6} = 0$

Etapa 2.4.2.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

${((x + 2) (x - 2))}^{6} = 0$

Etapa 2.4.2.1.3

Aplique a regra do produto a $(x + 2) (x - 2)$ .

${(x + 2)}^{6} {(x - 2)}^{6} = 0$

Etapa 2.4.2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

${(x + 2)}^{6} = 0$

${(x - 2)}^{6} = 0$

Etapa 2.4.2.3

Defina ${(x + 2)}^{6}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.2.3.1

Defina ${(x + 2)}^{6}$ como igual a $0$ .

${(x + 2)}^{6} = 0$

Etapa 2.4.2.3.2

Resolva ${(x + 2)}^{6} = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.4.2.3.2.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 2.4.2.3.2.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 2.4.2.4

Defina ${(x - 2)}^{6}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.2.4.1

Defina ${(x - 2)}^{6}$ como igual a $0$ .

${(x - 2)}^{6} = 0$

Etapa 2.4.2.4.2

Resolva ${(x - 2)}^{6} = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.4.2.4.2.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 2.4.2.4.2.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 2.4.2.5

A solução final são todos os valores que tornam ${(x + 2)}^{6} {(x - 2)}^{6} = 0$ verdadeiro.

$x = - 2, 2$

Etapa 2.5

A solução final são todos os valores que tornam $14 x {(x^{2} - 4)}^{6} = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 2, 2$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 4

Avalie ${(x^{2} - 4)}^{7}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = 0$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

${({(0)}^{2} - 4)}^{7}$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

${(0 - 4)}^{7}$

Etapa 4.1.2.2

Subtraia $4$ de $0$ .

${(- 4)}^{7}$

Etapa 4.1.2.3

Eleve $- 4$ à potência de $7$ .

$- 16384$

Etapa 4.2

Avalie em $x = - 2$ .

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Etapa 4.2.1

Substitua $- 2$ por $x$ .

${({(- 2)}^{2} - 4)}^{7}$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

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Etapa 4.2.2.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

${(4 - 4)}^{7}$

Etapa 4.2.2.2

Subtraia $4$ de $4$ .

$0^{7}$

Etapa 4.2.2.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0$

Etapa 4.3

Avalie em $x = 2$ .

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Etapa 4.3.1

Substitua $2$ por $x$ .

${({(2)}^{2} - 4)}^{7}$

Etapa 4.3.2

Simplifique.

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Etapa 4.3.2.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

${(4 - 4)}^{7}$

Etapa 4.3.2.2

Subtraia $4$ de $4$ .

$0^{7}$

Etapa 4.3.2.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0$

Etapa 4.4

Liste todos os pontos.

$(0, - 16384), (- 2, 0), (2, 0)$

Etapa 5