Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{1}{x^{2} - 2 x + 8}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Reescreva $\frac{1}{x^{2} - 2 x + 8}$ como ${(x^{2} - 2 x + 8)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2 x + 8)}^{- 1}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2} - 2 x + 8$ .

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Etapa 1.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} - 2 x + 8$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 8]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 8]$

Etapa 1.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} - 2 x + 8$ .

$- {(x^{2} - 2 x + 8)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 8]$

Etapa 1.1.3

Diferencie.

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Etapa 1.1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 2 x + 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$- {(x^{2} - 2 x + 8)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8])$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- {(x^{2} - 2 x + 8)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8])$

Etapa 1.1.3.3

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- {(x^{2} - 2 x + 8)}^{- 2} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8])$

Etapa 1.1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- {(x^{2} - 2 x + 8)}^{- 2} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8])$

Etapa 1.1.3.5

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- {(x^{2} - 2 x + 8)}^{- 2} (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [8])$

Etapa 1.1.3.6

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8$ em relação a $x$ é $0$ .

$- {(x^{2} - 2 x + 8)}^{- 2} (2 x - 2 + 0)$

Etapa 1.1.3.7

Some $2 x - 2$ e $0$ .

$- {(x^{2} - 2 x + 8)}^{- 2} (2 x - 2)$

Etapa 1.1.4

Simplifique.

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Etapa 1.1.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}} (2 x - 2)$

Etapa 1.1.4.2

Reordene os fatores de $- \frac{1}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}} (2 x - 2)$ .

$- (2 x - 2) \frac{1}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(- (2 x) - - 2) \frac{1}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.4.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$(- 2 x - - 2) \frac{1}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.4.5

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$(- 2 x + 2) \frac{1}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.4.6

Multiplique $- 2 x + 2$ por $\frac{1}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}}$ .

$\frac{- 2 x + 2}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.4.7

Fatore $2$ de $- 2 x + 2$ .

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Etapa 1.1.4.7.1

Fatore $2$ de $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x) + 2}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.4.7.2

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (- x) + 2 (1)}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.4.7.3

Fatore $2$ de $2 (- x) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (- x + 1)}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.4.8

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{2 (- (x) + 1)}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.4.9

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{2 (- (x) - 1 (- 1))}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.4.10

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{2 (- (x - 1))}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.4.11

Reescreva $- (x - 1)$ como $- 1 (x - 1)$ .

$\frac{2 (- 1 (x - 1))}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.4.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{2 (x - 1)}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{2 (x - 1)}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}}$ .

$- \frac{2 (x - 1)}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{2 (x - 1)}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{2 (x - 1)}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$2 (x - 1) = 0$

Etapa 2.3

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 2.3.1

Divida cada termo em $2 (x - 1) = 0$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 2.3.1.1

Divida cada termo em $2 (x - 1) = 0$ por $2$ .

$\frac{2 (x - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.1.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.3.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (x - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 2.3.1.2.1.2

Divida $x - 1$ por $1$ .

$x - 1 = \frac{0}{2}$

Etapa 2.3.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.1.3.1

Divida $0$ por $2$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 2.3.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 4

Avalie $\frac{1}{x^{2} - 2 x + 8}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = 1$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $1$ por $x$ .

$\frac{1}{{(1)}^{2} - 2 \cdot 1 + 8}$

Etapa 4.1.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.1.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{1 - 2 \cdot 1 + 8}$

Etapa 4.1.2.2

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{1}{1 - 2 + 8}$

Etapa 4.1.2.3

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{- 1 + 8}$

Etapa 4.1.2.4

Some $- 1$ e $8$ .

$\frac{1}{7}$

Etapa 4.2

Liste todos os pontos.

$(1, \frac{1}{7})$

Etapa 5