Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{1}{x + 3}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Reescreva $\frac{1}{x + 3}$ como ${(x + 3)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{- 1}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x + 3$ .

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Etapa 1.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 3$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x + 3]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 3]$

Etapa 1.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 3$ .

$- {(x + 3)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 3]$

Etapa 1.1.3

Diferencie.

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Etapa 1.1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$- {(x + 3)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- {(x + 3)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [3])$

Etapa 1.1.3.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$- {(x + 3)}^{- 2} (1 + 0)$

Etapa 1.1.3.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.3.4.1

Some $1$ e $0$ .

$- {(x + 3)}^{- 2} \cdot 1$

Etapa 1.1.3.4.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- {(x + 3)}^{- 2}$

Etapa 1.1.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - \frac{1}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{1}{{(x + 3)}^{2}}$ .

$- \frac{1}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$1 = 0$

Etapa 2.3

Como $1 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

Defina o denominador em $\frac{1}{{(x + 3)}^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

${(x + 3)}^{2} = 0$

Etapa 3.2

Resolva $x$ .

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Etapa 3.2.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 3.2.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 4

Avalie $\frac{1}{x + 3}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = - 3$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $- 3$ por $x$ .

$\frac{1}{(- 3) + 3}$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Some $- 3$ e $3$ .

$\frac{1}{0}$

Etapa 4.1.2.2

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 5

Não há valores de $x$ no domínio do problema original, em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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