Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{3} x^{3} - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Como $\frac{1}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{3} x^{3}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.1.2.3

Combine $3$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.1.2.4

Combine $\frac{3}{3}$ e $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.1.2.5

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 1.1.2.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.1.2.5.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} - \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{2} - 1 \cdot 1$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = x^{2} - 1$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $x^{2} - 1$ .

$x^{2} - 1$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $x^{2} - 1 = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$x^{2} - 1 = 0$

Etapa 2.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 1$

Etapa 2.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{1}$

Etapa 2.4

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm 1$

Etapa 2.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 2.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 1$

Etapa 2.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 1$

Etapa 2.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 1, - 1$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 4

Avalie $\frac{1}{3} x^{3} - x$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = 1$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $1$ por $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot {(1)}^{3} - (1)$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{3} \cdot 1 - (1)$

Etapa 4.1.2.1.2

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$\frac{1}{3} - (1)$

Etapa 4.1.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{3} - 1$

Etapa 4.1.2.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 4.1.2.3

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}$

Etapa 4.1.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}$

Etapa 4.1.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.2.5.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{1 - 3}{3}$

Etapa 4.1.2.5.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$\frac{- 2}{3}$

Etapa 4.1.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2}{3}$

Etapa 4.2

Avalie em $x = - 1$ .

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Etapa 4.2.1

Substitua $- 1$ por $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - (- 1)$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

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Etapa 4.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.2.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 - (- 1)$

Etapa 4.2.2.1.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $- 1$ .

$\frac{- 1}{3} - (- 1)$

Etapa 4.2.2.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{3} - (- 1)$

Etapa 4.2.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{3} + 1$

Etapa 4.2.2.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.2.2.2.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$- \frac{1}{3} + \frac{3}{3}$

Etapa 4.2.2.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 1 + 3}{3}$

Etapa 4.2.2.2.3

Some $- 1$ e $3$ .

$\frac{2}{3}$

Etapa 4.3

Liste todos os pontos.

$(1, - \frac{2}{3}), (- 1, \frac{2}{3})$

Etapa 5