Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x^{2} + 25}{x}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2} + 25$ e $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} + 25] - (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 25$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]) - (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [25]) - (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.1.2.3

Como $25$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $25$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x (2 x + 0) - (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.1.2.4

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{x (2 x) - (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.1.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x) - (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.1.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{1}) - (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.1.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.1.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.1.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 25) \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 1.1.8

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 25)}{x^{2}}$

Etapa 1.1.9

Simplifique.

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Etapa 1.1.9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 25}{x^{2}}$

Etapa 1.1.9.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.9.2.1

Multiplique $- 1$ por $25$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 25}{x^{2}}$

Etapa 1.1.9.2.2

Subtraia $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 25}{x^{2}}$

Etapa 1.1.9.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.9.3.1

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 5^{2}}{x^{2}}$

Etapa 1.1.9.3.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 5$ .

$f' (x) = \frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2}}$ .

$\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2}} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$(x + 5) (x - 5) = 0$

Etapa 2.3

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 2.3.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

$x - 5 = 0$

Etapa 2.3.2

Defina $x + 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.3.2.1

Defina $x + 5$ como igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Etapa 2.3.2.2

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$x = - 5$

Etapa 2.3.3

Defina $x - 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.3.3.1

Defina $x - 5$ como igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Etapa 2.3.3.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$x = 5$

Etapa 2.3.4

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 5) (x - 5) = 0$ verdadeiro.

$x = - 5, 5$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

Defina o denominador em $\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} = 0$

Etapa 3.2

Resolva $x$ .

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Etapa 3.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 3.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

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Etapa 3.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 3.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 3.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 4

Avalie $\frac{x^{2} + 25}{x}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = - 5$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $- 5$ por $x$ .

$\frac{{(- 5)}^{2} + 25}{- 5}$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.2.1.1

Eleve $- 5$ à potência de $2$ .

$\frac{25 + 25}{- 5}$

Etapa 4.1.2.1.2

Some $25$ e $25$ .

$\frac{50}{- 5}$

Etapa 4.1.2.2

Divida $50$ por $- 5$ .

$- 10$

Etapa 4.2

Avalie em $x = 5$ .

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Etapa 4.2.1

Substitua $5$ por $x$ .

$\frac{{(5)}^{2} + 25}{5}$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

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Etapa 4.2.2.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.2.2.1.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\frac{25 + 25}{5}$

Etapa 4.2.2.1.2

Some $25$ e $25$ .

$\frac{50}{5}$

Etapa 4.2.2.2

Divida $50$ por $5$ .

$10$

Etapa 4.3

Avalie em $x = 0$ .

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Etapa 4.3.1

Substitua $0$ por $x$ .

$\frac{{(0)}^{2} + 25}{0}$

Etapa 4.3.2

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 4.4

Liste todos os pontos.

$(- 5, - 10), (5, 10)$

Etapa 5