Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x^{2} - 9}{x - 5}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2} - 9$ e $g (x) = x - 5$ .

$\frac{(x - 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 9] - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{(x - 5) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(x - 5) (2 x + \frac{d}{d x} [- 9]) - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.3

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x - 5) (2 x + 0) - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.2.4.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{(x - 5) (2 x) - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.4.2

Mova $2$ para a esquerda de $x - 5$ .

$\frac{2 \cdot (x - 5) x - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{2 (x - 5) x - (x^{2} - 9) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{2 (x - 5) x - (x^{2} - 9) (1 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.7

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{2 (x - 5) x - (x^{2} - 9) (1 + 0)}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.8

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.8.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{2 (x - 5) x - (x^{2} - 9) \cdot 1}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.8.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 (x - 5) x - (x^{2} - 9)}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 1.1.3

Simplifique.

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Etapa 1.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 5) x - (x^{2} - 9)}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 5 x - (x^{2} - 9)}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 5 x - x^{2} - - 9}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.3.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.4.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.1.3.4.1.1.1

Mova $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot - 5 x - x^{2} - - 9}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.4.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 5 x - x^{2} - - 9}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.4.1.2

Multiplique $2$ por $- 5$ .

$\frac{2 x^{2} - 10 x - x^{2} - - 9}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.4.1.3

Multiplique $- 1$ por $- 9$ .

$\frac{2 x^{2} - 10 x - x^{2} + 9}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.4.2

Subtraia $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 10 x + 9}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.5

Fatore $x^{2} - 10 x + 9$ usando o método AC.

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Etapa 1.1.3.5.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $9$ e cuja soma é $- 10$ .

$- 9, - 1$

Etapa 1.1.3.5.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$f' (x) = \frac{(x - 9) (x - 1)}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{(x - 9) (x - 1)}{{(x - 5)}^{2}}$ .

$\frac{(x - 9) (x - 1)}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{(x - 9) (x - 1)}{{(x - 5)}^{2}} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{(x - 9) (x - 1)}{{(x - 5)}^{2}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$(x - 9) (x - 1) = 0$

Etapa 2.3

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 2.3.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 9 = 0$

$x - 1 = 0$

Etapa 2.3.2

Defina $x - 9$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.3.2.1

Defina $x - 9$ como igual a $0$ .

$x - 9 = 0$

Etapa 2.3.2.2

Some $9$ aos dois lados da equação.

$x = 9$

Etapa 2.3.3

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.3.3.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 2.3.3.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 2.3.4

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 9) (x - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 9, 1$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

Defina o denominador em $\frac{(x - 9) (x - 1)}{{(x - 5)}^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

${(x - 5)}^{2} = 0$

Etapa 3.2

Resolva $x$ .

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Etapa 3.2.1

Defina $x - 5$ como igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Etapa 3.2.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$x = 5$

Etapa 4

Avalie $\frac{x^{2} - 9}{x - 5}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = 9$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $9$ por $x$ .

$\frac{{(9)}^{2} - 9}{(9) - 5}$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.2.1.1

Eleve $9$ à potência de $2$ .

$\frac{81 - 9}{9 - 5}$

Etapa 4.1.2.1.2

Subtraia $9$ de $81$ .

$\frac{72}{9 - 5}$

Etapa 4.1.2.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.1.2.2.1

Subtraia $5$ de $9$ .

$\frac{72}{4}$

Etapa 4.1.2.2.2

Divida $72$ por $4$ .

$18$

Etapa 4.2

Avalie em $x = 1$ .

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Etapa 4.2.1

Substitua $1$ por $x$ .

$\frac{{(1)}^{2} - 9}{(1) - 5}$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

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Etapa 4.2.2.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.2.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1 - 9}{1 - 5}$

Etapa 4.2.2.1.2

Subtraia $9$ de $1$ .

$\frac{- 8}{1 - 5}$

Etapa 4.2.2.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.2.2.2.1

Subtraia $5$ de $1$ .

$\frac{- 8}{- 4}$

Etapa 4.2.2.2.2

Divida $- 8$ por $- 4$ .

$2$

Etapa 4.3

Avalie em $x = 5$ .

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Etapa 4.3.1

Substitua $5$ por $x$ .

$\frac{{(5)}^{2} - 9}{(5) - 5}$

Etapa 4.3.2

Simplifique.

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Etapa 4.3.2.1

Subtraia $5$ de $5$ .

$\frac{{(5)}^{2} - 9}{0}$

Etapa 4.3.2.2

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 4.4

Liste todos os pontos.

$(9, 18), (1, 2)$

Etapa 5