Cálculo Exemplos

$f (x) = | 25 x^{2} - 4 |$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = | x |$ e $g (x) = 25 x^{2} - 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $25 x^{2} - 4$ .

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [25 x^{2} - 4]$

Etapa 1.1.1.2

A derivada de $| u |$ em relação a $u$ é $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [25 x^{2} - 4]$

Etapa 1.1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $25 x^{2} - 4$ .

$\frac{25 x^{2} - 4}{| 25 x^{2} - 4 |} \frac{d}{d x} [25 x^{2} - 4]$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $25 x^{2} - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [25 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{25 x^{2} - 4}{| 25 x^{2} - 4 |} (\frac{d}{d x} [25 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Etapa 1.1.2.2

Como $25$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $25 x^{2}$ em relação a $x$ é $25 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{25 x^{2} - 4}{| 25 x^{2} - 4 |} (25 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Etapa 1.1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{25 x^{2} - 4}{| 25 x^{2} - 4 |} (25 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4])$

Etapa 1.1.2.4

Multiplique $2$ por $25$ .

$\frac{25 x^{2} - 4}{| 25 x^{2} - 4 |} (50 x + \frac{d}{d x} [- 4])$

Etapa 1.1.2.5

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{25 x^{2} - 4}{| 25 x^{2} - 4 |} (50 x + 0)$

Etapa 1.1.2.6

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.6.1

Some $50 x$ e $0$ .

$\frac{25 x^{2} - 4}{| 25 x^{2} - 4 |} (50 x)$

Etapa 1.1.2.6.2

Combine $50$ e $\frac{25 x^{2} - 4}{| 25 x^{2} - 4 |}$ .

$\frac{50 (25 x^{2} - 4)}{| 25 x^{2} - 4 |} x$

Etapa 1.1.2.6.3

Combine $\frac{50 (25 x^{2} - 4)}{| 25 x^{2} - 4 |}$ e $x$ .

$\frac{50 (25 x^{2} - 4) x}{| 25 x^{2} - 4 |}$

Etapa 1.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(50 (25 x^{2}) + 50 \cdot - 4) x}{| 25 x^{2} - 4 |}$

Etapa 1.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{50 (25 x^{2}) x + 50 \cdot - 4 x}{| 25 x^{2} - 4 |}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.3.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.3.1.1

Mova $x$ .

$\frac{50 (25 (x \cdot x^{2})) + 50 \cdot - 4 x}{| 25 x^{2} - 4 |}$

Etapa 1.1.3.3.1.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.3.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{50 (25 (x^{1} x^{2})) + 50 \cdot - 4 x}{| 25 x^{2} - 4 |}$

Etapa 1.1.3.3.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{50 (25 x^{1 + 2}) + 50 \cdot - 4 x}{| 25 x^{2} - 4 |}$

Etapa 1.1.3.3.1.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{50 (25 x^{3}) + 50 \cdot - 4 x}{| 25 x^{2} - 4 |}$

Etapa 1.1.3.3.2

Multiplique $25$ por $50$ .

$\frac{1250 x^{3} + 50 \cdot - 4 x}{| 25 x^{2} - 4 |}$

Etapa 1.1.3.3.3

Multiplique $50$ por $- 4$ .

$f' (x) = \frac{1250 x^{3} - 200 x}{| 25 x^{2} - 4 |}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{1250 x^{3} - 200 x}{| 25 x^{2} - 4 |}$ .

$\frac{1250 x^{3} - 200 x}{| 25 x^{2} - 4 |}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{1250 x^{3} - 200 x}{| 25 x^{2} - 4 |} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{1250 x^{3} - 200 x}{| 25 x^{2} - 4 |} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$1250 x^{3} - 200 x = 0$

Etapa 2.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Fatore $50 x$ de $1250 x^{3} - 200 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1.1

Fatore $50 x$ de $1250 x^{3}$ .

$50 x (25 x^{2}) - 200 x = 0$

Etapa 2.3.1.1.2

Fatore $50 x$ de $- 200 x$ .

$50 x (25 x^{2}) + 50 x (- 4) = 0$

Etapa 2.3.1.1.3

Fatore $50 x$ de $50 x (25 x^{2}) + 50 x (- 4)$ .

$50 x (25 x^{2} - 4) = 0$

Etapa 2.3.1.2

Reescreva $25 x^{2}$ como ${(5 x)}^{2}$ .

$50 x ({(5 x)}^{2} - 4) = 0$

Etapa 2.3.1.3

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$50 x ({(5 x)}^{2} - 2^{2}) = 0$

Etapa 2.3.1.4

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.4.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 5 x$ e $b = 2$ .

$50 x ((5 x + 2) (5 x - 2)) = 0$

Etapa 2.3.1.4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$50 x (5 x + 2) (5 x - 2) = 0$

Etapa 2.3.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$5 x + 2 = 0$

$5 x - 2 = 0$

Etapa 2.3.3

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.3.4

Defina $5 x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.1

Defina $5 x + 2$ como igual a $0$ .

$5 x + 2 = 0$

Etapa 2.3.4.2

Resolva $5 x + 2 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.2.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$5 x = - 2$

Etapa 2.3.4.2.2

Divida cada termo em $5 x = - 2$ por $5$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.2.2.1

Divida cada termo em $5 x = - 2$ por $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 2}{5}$

Etapa 2.3.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 2}{5}$

Etapa 2.3.4.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{5}$

Etapa 2.3.4.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{2}{5}$

Etapa 2.3.5

Defina $5 x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1

Defina $5 x - 2$ como igual a $0$ .

$5 x - 2 = 0$

Etapa 2.3.5.2

Resolva $5 x - 2 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.2.1

Some $2$ aos dois lados da equação.

$5 x = 2$

Etapa 2.3.5.2.2

Divida cada termo em $5 x = 2$ por $5$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.2.2.1

Divida cada termo em $5 x = 2$ por $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{2}{5}$

Etapa 2.3.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 x}{5} = \frac{2}{5}$

Etapa 2.3.5.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{2}{5}$

Etapa 2.3.6

A solução final são todos os valores que tornam $50 x (5 x + 2) (5 x - 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - \frac{2}{5}, \frac{2}{5}$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina o denominador em $\frac{1250 x^{3} - 200 x}{| 25 x^{2} - 4 |}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$| 25 x^{2} - 4 | = 0$

Etapa 3.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$25 x^{2} - 4 = \pm 0$

Etapa 3.2.2

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$25 x^{2} - 4 = 0$

Etapa 3.2.3

Some $4$ aos dois lados da equação.

$25 x^{2} = 4$

Etapa 3.2.4

Divida cada termo em $25 x^{2} = 4$ por $25$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.1

Divida cada termo em $25 x^{2} = 4$ por $25$ .

$\frac{25 x^{2}}{25} = \frac{4}{25}$

Etapa 3.2.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.2.1

Cancele o fator comum de $25$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{25 x^{2}}{25} = \frac{4}{25}$

Etapa 3.2.4.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{4}{25}$

Etapa 3.2.5

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{\frac{4}{25}}$

Etapa 3.2.6

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{4}{25}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.6.1

Reescreva $\sqrt{\frac{4}{25}}$ como $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{25}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{25}}$

Etapa 3.2.6.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.6.2.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{25}}$

Etapa 3.2.6.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{25}}$

Etapa 3.2.6.3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.6.3.1

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{5^{2}}}$

Etapa 3.2.6.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm \frac{2}{5}$

Etapa 3.2.7

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.7.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{2}{5}$

Etapa 3.2.7.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{2}{5}$

Etapa 3.2.7.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{2}{5}, - \frac{2}{5}$

Etapa 3.3

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x = - \frac{2}{5}, x = \frac{2}{5}$

Etapa 4

Avalie $| 25 x^{2} - 4 |$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Avalie em $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

$| 25 {(0)}^{2} - 4 |$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$| 25 \cdot 0 - 4 |$

Etapa 4.1.2.1.2

Multiplique $25$ por $0$ .

$| 0 - 4 |$

Etapa 4.1.2.2

Subtraia $4$ de $0$ .

$| - 4 |$

Etapa 4.1.2.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $- 4$ e $0$ é $4$ .

$4$

Etapa 4.2

Avalie em $x = - \frac{2}{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Substitua $- \frac{2}{5}$ por $x$ .

$| 25 {(- \frac{2}{5})}^{2} - 4 |$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{2}{5}$ .

$| 25 ({(- 1)}^{2} {(\frac{2}{5})}^{2}) - 4 |$

Etapa 4.2.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{2}{5}$ .

$| 25 ({(- 1)}^{2} \frac{2^{2}}{5^{2}}) - 4 |$

Etapa 4.2.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$| 25 (1 \frac{2^{2}}{5^{2}}) - 4 |$

Etapa 4.2.2.1.3

Multiplique $\frac{2^{2}}{5^{2}}$ por $1$ .

$| 25 \frac{2^{2}}{5^{2}} - 4 |$

Etapa 4.2.2.1.4

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$| 25 \frac{4}{5^{2}} - 4 |$

Etapa 4.2.2.1.5

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$| 25 (\frac{4}{25}) - 4 |$

Etapa 4.2.2.1.6

Cancele o fator comum de $25$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.6.1

Cancele o fator comum.

$| 25 (\frac{4}{25}) - 4 |$

Etapa 4.2.2.1.6.2

Reescreva a expressão.

$| 4 - 4 |$

Etapa 4.2.2.2

Subtraia $4$ de $4$ .

$| 0 |$

Etapa 4.2.2.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $0$ é $0$ .

$0$

Etapa 4.3

Avalie em $x = \frac{2}{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua $\frac{2}{5}$ por $x$ .

$| 25 {(\frac{2}{5})}^{2} - 4 |$

Etapa 4.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{2}{5}$ .

$| 25 \frac{2^{2}}{5^{2}} - 4 |$

Etapa 4.3.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$| 25 \frac{4}{5^{2}} - 4 |$

Etapa 4.3.2.1.3

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$| 25 (\frac{4}{25}) - 4 |$

Etapa 4.3.2.1.4

Cancele o fator comum de $25$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.4.1

Cancele o fator comum.

$| 25 (\frac{4}{25}) - 4 |$

Etapa 4.3.2.1.4.2

Reescreva a expressão.

$| 4 - 4 |$

Etapa 4.3.2.2

Subtraia $4$ de $4$ .

$| 0 |$

Etapa 4.3.2.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $0$ é $0$ .

$0$

Etapa 4.4

Liste todos os pontos.

$(0, 4), (- \frac{2}{5}, 0), (\frac{2}{5}, 0)$

Etapa 5