Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{4 x}{x - 6}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{4 x}{x - 6}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 6}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 6}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = x - 6$ .

$4 \frac{(x - 6) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x - 6]}{{(x - 6)}^{2}}$

Etapa 1.1.3

Diferencie.

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Etapa 1.1.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 \frac{(x - 6) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x - 6]}{{(x - 6)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2

Multiplique $x - 6$ por $1$ .

$4 \frac{x - 6 - x \frac{d}{d x} [x - 6]}{{(x - 6)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$4 \frac{x - 6 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(x - 6)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 \frac{x - 6 - x (1 + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(x - 6)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.5

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 \frac{x - 6 - x (1 + 0)}{{(x - 6)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.6

Simplifique os termos.

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Etapa 1.1.3.6.1

Some $1$ e $0$ .

$4 \frac{x - 6 - x \cdot 1}{{(x - 6)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.6.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$4 \frac{x - 6 - x}{{(x - 6)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.6.3

Subtraia $x$ de $x$ .

$4 \frac{0 - 6}{{(x - 6)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.6.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.3.6.4.1

Subtraia $6$ de $0$ .

$4 \frac{- 6}{{(x - 6)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.6.4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$4 (- \frac{6}{{(x - 6)}^{2}})$

Etapa 1.1.3.6.4.3

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$- 4 \frac{6}{{(x - 6)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.6.5

Combine $- 4$ e $\frac{6}{{(x - 6)}^{2}}$ .

$\frac{- 4 \cdot 6}{{(x - 6)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.6.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.3.6.6.1

Multiplique $- 4$ por $6$ .

$\frac{- 24}{{(x - 6)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.6.6.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{24}{{(x - 6)}^{2}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{24}{{(x - 6)}^{2}}$ .

$- \frac{24}{{(x - 6)}^{2}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{24}{{(x - 6)}^{2}} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{24}{{(x - 6)}^{2}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$24 = 0$

Etapa 2.3

Como $24 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

Defina o denominador em $\frac{24}{{(x - 6)}^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

${(x - 6)}^{2} = 0$

Etapa 3.2

Resolva $x$ .

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Etapa 3.2.1

Defina $x - 6$ como igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Etapa 3.2.2

Some $6$ aos dois lados da equação.

$x = 6$

Etapa 4

Avalie $\frac{4 x}{x - 6}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = 6$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $6$ por $x$ .

$\frac{4 (6)}{(6) - 6}$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Subtraia $6$ de $6$ .

$\frac{4 (6)}{0}$

Etapa 4.1.2.2

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 5

Não há valores de $x$ no domínio do problema original, em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Nenhum ponto crítico encontrado