Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{16}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Como $\frac{16}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{16}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}$ em relação a $x$ é $\frac{16}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}]$ .

$\frac{16}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}]$

Etapa 1.1.1.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 1.1.1.2.1

Reescreva $\frac{1}{{(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}$ como ${({(x - 6)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$\frac{16}{3} \frac{d}{d x} [{({(x - 6)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}]$

Etapa 1.1.1.2.2

Multiplique os expoentes em ${({(x - 6)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Etapa 1.1.1.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{16}{3} \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{\frac{1}{3} \cdot - 1}]$

Etapa 1.1.1.2.2.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $- 1$ .

$\frac{16}{3} \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{\frac{- 1}{3}}]$

Etapa 1.1.1.2.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{16}{3} \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{- \frac{1}{3}}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- \frac{1}{3}}$ e $g (x) = x - 6$ .

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Etapa 1.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 6$ .

$\frac{16}{3} (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 6])$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - \frac{1}{3}$ .

$\frac{16}{3} (- \frac{1}{3} u^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 6])$

Etapa 1.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 6$ .

$\frac{16}{3} (- \frac{1}{3} {(x - 6)}^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 6])$

Etapa 1.1.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{16}{3} (- \frac{1}{3} {(x - 6)}^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 6])$

Etapa 1.1.4

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{16}{3} (- \frac{1}{3} {(x - 6)}^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 6])$

Etapa 1.1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{16}{3} (- \frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 6])$

Etapa 1.1.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.6.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{16}{3} (- \frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{- 1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 6])$

Etapa 1.1.6.2

Subtraia $3$ de $- 1$ .

$\frac{16}{3} (- \frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{- 4}{3}} \frac{d}{d x} [x - 6])$

Etapa 1.1.7

Combine frações.

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Etapa 1.1.7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{16}{3} (- \frac{1}{3} {(x - 6)}^{- \frac{4}{3}} \frac{d}{d x} [x - 6])$

Etapa 1.1.7.2

Combine ${(x - 6)}^{- \frac{4}{3}}$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{16}{3} (- \frac{{(x - 6)}^{- \frac{4}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 6])$

Etapa 1.1.7.3

Mova ${(x - 6)}^{- \frac{4}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{16}{3} (- \frac{1}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 6])$

Etapa 1.1.7.4

Multiplique $\frac{16}{3}$ por $\frac{1}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$- \frac{16}{3 (3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}})} \frac{d}{d x} [x - 6]$

Etapa 1.1.7.5

Multiplique $3$ por $3$ .

$- \frac{16}{9 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 6]$

Etapa 1.1.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$- \frac{16}{9 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Etapa 1.1.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \frac{16}{9 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 6])$

Etapa 1.1.10

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6$ em relação a $x$ é $0$ .

$- \frac{16}{9 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}} (1 + 0)$

Etapa 1.1.11

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.11.1

Some $1$ e $0$ .

$- \frac{16}{9 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}} \cdot 1$

Etapa 1.1.11.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = - \frac{16}{9 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{16}{9 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$- \frac{16}{9 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{16}{9 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{16}{9 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$16 = 0$

Etapa 2.3

Como $16 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$- \frac{16}{9 \sqrt[3]{{(x - 6)}^{4}}}$

Etapa 3.2

Defina o denominador em $\frac{16}{9 \sqrt[3]{{(x - 6)}^{4}}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$9 \sqrt[3]{{(x - 6)}^{4}} = 0$

Etapa 3.3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao cubo os dois lados da equação.

${(9 \sqrt[3]{{(x - 6)}^{4}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 3.3.2

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 3.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{{(x - 6)}^{4}}$ como ${(x - 6)}^{\frac{4}{3}}$ .

${(9 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 3.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.2.2.1

Simplifique ${(9 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}})}^{3}$ .

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Etapa 3.3.2.2.1.1

Aplique a regra do produto a $9 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}$ .

$9^{3} {({(x - 6)}^{\frac{4}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 3.3.2.2.1.2

Eleve $9$ à potência de $3$ .

$729 {({(x - 6)}^{\frac{4}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 3.3.2.2.1.3

Multiplique os expoentes em ${({(x - 6)}^{\frac{4}{3}})}^{3}$ .

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Etapa 3.3.2.2.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$729 {(x - 6)}^{\frac{4}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 3.3.2.2.1.3.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.3.2.2.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$729 {(x - 6)}^{\frac{4}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 3.3.2.2.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$729 {(x - 6)}^{4} = 0^{3}$

Etapa 3.3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$729 {(x - 6)}^{4} = 0$

Etapa 3.3.3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.3.3.1

Divida cada termo em $729 {(x - 6)}^{4} = 0$ por $729$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1.1

Divida cada termo em $729 {(x - 6)}^{4} = 0$ por $729$ .

$\frac{729 {(x - 6)}^{4}}{729} = \frac{0}{729}$

Etapa 3.3.3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1.2.1

Cancele o fator comum de $729$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{729 {(x - 6)}^{4}}{729} = \frac{0}{729}$

Etapa 3.3.3.1.2.1.2

Divida ${(x - 6)}^{4}$ por $1$ .

${(x - 6)}^{4} = \frac{0}{729}$

Etapa 3.3.3.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.3.1.3.1

Divida $0$ por $729$ .

${(x - 6)}^{4} = 0$

Etapa 3.3.3.2

Defina $x - 6$ como igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Etapa 3.3.3.3

Some $6$ aos dois lados da equação.

$x = 6$

Etapa 4

Avalie $\frac{16}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = 6$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $6$ por $x$ .

$\frac{16}{3 {((6) - 6)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.1

Subtraia $6$ de $6$ .

$\frac{16}{3 \cdot 0^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 4.1.2.1.2

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$\frac{16}{3 \cdot {(0^{3})}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 4.1.2.1.3

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{16}{3 \cdot 0^{3 (\frac{1}{3})}}$

Etapa 4.1.2.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 4.1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{16}{3 \cdot 0^{3 (\frac{1}{3})}}$

Etapa 4.1.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{16}{3 \cdot 0^{1}}$

Etapa 4.1.2.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.1.2.3.1

Avalie o expoente.

$\frac{16}{3 \cdot 0}$

Etapa 4.1.2.3.2

Multiplique $3$ por $0$ .

$\frac{16}{0}$

Etapa 4.1.2.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{16}{0}$

Etapa 4.1.2.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 5

Não há valores de $x$ no domínio do problema original, em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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