Cálculo Exemplos

$f (x) = x - \frac{54}{x}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Diferencie.

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Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - \frac{54}{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{54}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{54}{x}]$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \frac{54}{x}]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{54}{x}]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Como $- 54$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{54}{x}$ em relação a $x$ é $- 54 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$1 - 54 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 1.1.2.2

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$1 - 54 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Etapa 1.1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$1 - 54 (- x^{- 2})$

Etapa 1.1.2.4

Multiplique $- 1$ por $- 54$ .

$1 + 54 x^{- 2}$

Etapa 1.1.3

Simplifique.

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Etapa 1.1.3.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + 54 \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 1.1.3.2

Combine $54$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$1 + \frac{54}{x^{2}}$

Etapa 1.1.3.3

Reordene os termos.

$f' (x) = \frac{54}{x^{2}} + 1$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{54}{x^{2}} + 1$ .

$\frac{54}{x^{2}} + 1$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{54}{x^{2}} + 1 = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{54}{x^{2}} + 1 = 0$

Etapa 2.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$\frac{54}{x^{2}} = - 1$

Etapa 2.3

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 2.3.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$x^{2}, 1$

Etapa 2.3.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$x^{2}$

Etapa 2.4

Multiplique cada termo em $\frac{54}{x^{2}} = - 1$ por $x^{2}$ para eliminar as frações.

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Etapa 2.4.1

Multiplique cada termo em $\frac{54}{x^{2}} = - 1$ por $x^{2}$ .

$\frac{54}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Etapa 2.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.4.2.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 2.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{54}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Etapa 2.4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$54 = - x^{2}$

Etapa 2.5

Resolva a equação.

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Etapa 2.5.1

Reescreva a equação como $- x^{2} = 54$ .

$- x^{2} = 54$

Etapa 2.5.2

Divida cada termo em $- x^{2} = 54$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 2.5.2.1

Divida cada termo em $- x^{2} = 54$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{54}{- 1}$

Etapa 2.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.5.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{54}{- 1}$

Etapa 2.5.2.2.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{54}{- 1}$

Etapa 2.5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.5.2.3.1

Divida $54$ por $- 1$ .

$x^{2} = - 54$

Etapa 2.5.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{- 54}$

Etapa 2.5.4

Simplifique $\pm \sqrt{- 54}$ .

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Etapa 2.5.4.1

Reescreva $- 54$ como $- 1 (54)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (54)}$

Etapa 2.5.4.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (54)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{54}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{54}$

Etapa 2.5.4.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{54}$

Etapa 2.5.4.4

Reescreva $54$ como $3^{2} \cdot 6$ .

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Etapa 2.5.4.4.1

Fatore $9$ de $54$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{9 (6)}$

Etapa 2.5.4.4.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 6}$

Etapa 2.5.4.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \pm i \cdot (3 \sqrt{6})$

Etapa 2.5.4.6

Mova $3$ para a esquerda de $i$ .

$x = \pm 3 i \sqrt{6}$

Etapa 2.5.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 2.5.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 3 i \sqrt{6}$

Etapa 2.5.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 3 i \sqrt{6}$

Etapa 2.5.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 3 i \sqrt{6}, - 3 i \sqrt{6}$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

Defina o denominador em $\frac{54}{x^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} = 0$

Etapa 3.2

Resolva $x$ .

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Etapa 3.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 3.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

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Etapa 3.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 3.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 3.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 4

Avalie $x - \frac{54}{x}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = 0$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

$(0) - \frac{54}{0}$

Etapa 4.1.2

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 5

Não há valores de $x$ no domínio do problema original, em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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