Cálculo Exemplos

$f (x) = 8 x^{3} + x^{2} + 8 x$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $8 x^{3} + x^{2} + 8 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x)$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x^{3}$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x)$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x)$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $3$ por $8$ .

$f' (x) = 24 x^{2} + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x)$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 24 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} (8 x)$

Etapa 1.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

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Etapa 1.1.4.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 24 x^{2} + 2 x + 8 \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 24 x^{2} + 2 x + 8 \cdot 1$

Etapa 1.1.4.3

Multiplique $8$ por $1$ .

$f' (x) = 24 x^{2} + 2 x + 8$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $24 x^{2} + 2 x + 8$ .

$24 x^{2} + 2 x + 8$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $24 x^{2} + 2 x + 8 = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$24 x^{2} + 2 x + 8 = 0$

Etapa 2.2

Fatore $2$ de $24 x^{2} + 2 x + 8$ .

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Etapa 2.2.1

Fatore $2$ de $24 x^{2}$ .

$2 (12 x^{2}) + 2 x + 8 = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore $2$ de $2 x$ .

$2 (12 x^{2}) + 2 (x) + 8 = 0$

Etapa 2.2.3

Fatore $2$ de $8$ .

$2 (12 x^{2}) + 2 x + 2 \cdot 4 = 0$

Etapa 2.2.4

Fatore $2$ de $2 (12 x^{2}) + 2 x$ .

$2 (12 x^{2} + x) + 2 \cdot 4 = 0$

Etapa 2.2.5

Fatore $2$ de $2 (12 x^{2} + x) + 2 \cdot 4$ .

$2 (12 x^{2} + x + 4) = 0$

Etapa 2.3

Divida cada termo em $2 (12 x^{2} + x + 4) = 0$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 2.3.1

Divida cada termo em $2 (12 x^{2} + x + 4) = 0$ por $2$ .

$\frac{2 (12 x^{2} + x + 4)}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (12 x^{2} + x + 4)}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 2.3.2.1.2

Divida $12 x^{2} + x + 4$ por $1$ .

$12 x^{2} + x + 4 = \frac{0}{2}$

Etapa 2.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.3.1

Divida $0$ por $2$ .

$12 x^{2} + x + 4 = 0$

Etapa 2.4

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 2.5

Substitua os valores $a = 12$ , $b = 1$ e $c = 4$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (12 \cdot 4)}}{2 \cdot 12}$

Etapa 2.6

Simplifique.

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Etapa 2.6.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.6.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 12 \cdot 4}}{2 \cdot 12}$

Etapa 2.6.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 12 \cdot 4$ .

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Etapa 2.6.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $12$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 48 \cdot 4}}{2 \cdot 12}$

Etapa 2.6.1.2.2

Multiplique $- 48$ por $4$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 192}}{2 \cdot 12}$

Etapa 2.6.1.3

Subtraia $192$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 191}}{2 \cdot 12}$

Etapa 2.6.1.4

Reescreva $- 191$ como $- 1 (191)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 191}}{2 \cdot 12}$

Etapa 2.6.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (191)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}}{2 \cdot 12}$

Etapa 2.6.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{191}}{2 \cdot 12}$

Etapa 2.6.2

Multiplique $2$ por $12$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{191}}{24}$

Etapa 2.7

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

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Etapa 2.7.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.7.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 12 \cdot 4}}{2 \cdot 12}$

Etapa 2.7.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 12 \cdot 4$ .

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Etapa 2.7.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $12$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 48 \cdot 4}}{2 \cdot 12}$

Etapa 2.7.1.2.2

Multiplique $- 48$ por $4$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 192}}{2 \cdot 12}$

Etapa 2.7.1.3

Subtraia $192$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 191}}{2 \cdot 12}$

Etapa 2.7.1.4

Reescreva $- 191$ como $- 1 (191)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 191}}{2 \cdot 12}$

Etapa 2.7.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (191)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}}{2 \cdot 12}$

Etapa 2.7.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{191}}{2 \cdot 12}$

Etapa 2.7.2

Multiplique $2$ por $12$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{191}}{24}$

Etapa 2.7.3

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{191}}{24}$

Etapa 2.7.4

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{191}}{24}$

Etapa 2.7.5

Fatore $- 1$ de $i \sqrt{191}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{191})}{24}$

Etapa 2.7.6

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - (- i \sqrt{191})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{191})}{24}$

Etapa 2.7.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{191}}{24}$

Etapa 2.8

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

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Etapa 2.8.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.8.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 12 \cdot 4}}{2 \cdot 12}$

Etapa 2.8.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 12 \cdot 4$ .

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Etapa 2.8.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $12$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 48 \cdot 4}}{2 \cdot 12}$

Etapa 2.8.1.2.2

Multiplique $- 48$ por $4$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 192}}{2 \cdot 12}$

Etapa 2.8.1.3

Subtraia $192$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 191}}{2 \cdot 12}$

Etapa 2.8.1.4

Reescreva $- 191$ como $- 1 (191)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 191}}{2 \cdot 12}$

Etapa 2.8.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (191)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}}{2 \cdot 12}$

Etapa 2.8.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{191}}{2 \cdot 12}$

Etapa 2.8.2

Multiplique $2$ por $12$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{191}}{24}$

Etapa 2.8.3

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{191}}{24}$

Etapa 2.8.4

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{191}}{24}$

Etapa 2.8.5

Fatore $- 1$ de $- i \sqrt{191}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{191})}{24}$

Etapa 2.8.6

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - (i \sqrt{191})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{191})}{24}$

Etapa 2.8.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{191}}{24}$

Etapa 2.9

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{191}}{24}, - \frac{1 + i \sqrt{191}}{24}$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 4

Não há valores de $x$ no domínio do problema original, em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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