Cálculo Exemplos

$f (x) = 3 x^{\frac{5}{3}} - 15 x^{\frac{2}{3}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{\frac{5}{3}} - 15 x^{\frac{2}{3}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{\frac{2}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{\frac{5}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{2}{3}})$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{5}{3}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{\frac{5}{3}}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{\frac{5}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{2}{3}})$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{5}{3}$ .

$f' (x) = 3 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{2}{3}})$

Etapa 1.1.2.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 3 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{2}{3}})$

Etapa 1.1.2.4

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 3 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{2}{3}})$

Etapa 1.1.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = 3 (\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{2}{3}})$

Etapa 1.1.2.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.6.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f' (x) = 3 (\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{2}{3}})$

Etapa 1.1.2.6.2

Subtraia $3$ de $5$ .

$f' (x) = 3 (\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{2}{3}})$

Etapa 1.1.2.7

Combine $\frac{5}{3}$ e $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = 3 (\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{2}{3}})$

Etapa 1.1.2.8

Combine $3$ e $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}$ .

$f' (x) = \frac{3 (5 x^{\frac{2}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{2}{3}})$

Etapa 1.1.2.9

Multiplique $5$ por $3$ .

$f' (x) = \frac{15 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{2}{3}})$

Etapa 1.1.2.10

Fatore $3$ de $15 x^{\frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{3 (5 x^{\frac{2}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{2}{3}})$

Etapa 1.1.2.11

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.11.1

Fatore $3$ de $3$ .

$f' (x) = \frac{3 (5 x^{\frac{2}{3}})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{2}{3}})$

Etapa 1.1.2.11.2

Cancele o fator comum.

$f' (x) = \frac{3 (5 x^{\frac{2}{3}})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{2}{3}})$

Etapa 1.1.2.11.3

Reescreva a expressão.

$f' (x) = \frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{1} + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{2}{3}})$

Etapa 1.1.2.11.4

Divida $5 x^{\frac{2}{3}}$ por $1$ .

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{2}{3}})$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 15 x^{\frac{2}{3}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Como $- 15$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 15 x^{\frac{2}{3}}$ em relação a $x$ é $- 15 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} - 15 \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}}$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{2}{3}$ .

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} - 15 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Etapa 1.1.3.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} - 15 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Etapa 1.1.3.4

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} - 15 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 1.1.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} - 15 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 1.1.3.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.6.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} - 15 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Etapa 1.1.3.6.2

Subtraia $3$ de $2$ .

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} - 15 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Etapa 1.1.3.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} - 15 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Etapa 1.1.3.8

Combine $\frac{2}{3}$ e $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} - 15 \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Etapa 1.1.3.9

Combine $- 15$ e $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} + \frac{- 15 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3}$

Etapa 1.1.3.10

Multiplique $2$ por $- 15$ .

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} + \frac{- 30 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Etapa 1.1.3.11

Mova $x^{- \frac{1}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} + \frac{- 30}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.1.3.12

Fatore $3$ de $- 30$ .

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} + \frac{3 \cdot - 10}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.1.3.13

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.13.1

Fatore $3$ de $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} + \frac{3 \cdot - 10}{3 (x^{\frac{1}{3}})}$

Etapa 1.1.3.13.2

Cancele o fator comum.

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} + \frac{3 \cdot - 10}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.1.3.13.3

Reescreva a expressão.

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} + \frac{- 10}{x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.1.3.14

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} - \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $5 x^{\frac{2}{3}} - \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$5 x^{\frac{2}{3}} - \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $5 x^{\frac{2}{3}} - \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$5 x^{\frac{2}{3}} - \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Etapa 2.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$1, x^{\frac{1}{3}}, 1$

Etapa 2.2.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$x^{\frac{1}{3}}$

Etapa 2.3

Multiplique cada termo em $5 x^{\frac{2}{3}} - \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$ por $x^{\frac{1}{3}}$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Multiplique cada termo em $5 x^{\frac{2}{3}} - \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$ por $x^{\frac{1}{3}}$ .

$5 x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}} - \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1

Multiplique $x^{\frac{2}{3}}$ por $x^{\frac{1}{3}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1.1

Mova $x^{\frac{1}{3}}$ .

$5 (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}) - \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Etapa 2.3.2.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$5 x^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} - \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Etapa 2.3.2.1.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$5 x^{\frac{1 + 2}{3}} - \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Etapa 2.3.2.1.1.4

Some $1$ e $2$ .

$5 x^{\frac{3}{3}} - \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Etapa 2.3.2.1.1.5

Divida $3$ por $3$ .

$5 x^{1} - \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Etapa 2.3.2.1.2

Simplifique $5 x^{1}$ .

$5 x - \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Etapa 2.3.2.1.3

Cancele o fator comum de $x^{\frac{1}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}}$ para o numerador.

$5 x + \frac{- 10}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Etapa 2.3.2.1.3.2

Cancele o fator comum.

$5 x + \frac{- 10}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Etapa 2.3.2.1.3.3

Reescreva a expressão.

$5 x - 10 = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Etapa 2.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Multiplique $0$ por $x^{\frac{1}{3}}$ .

$5 x - 10 = 0$

Etapa 2.4

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Some $10$ aos dois lados da equação.

$5 x = 10$

Etapa 2.4.2

Divida cada termo em $5 x = 10$ por $5$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Divida cada termo em $5 x = 10$ por $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{10}{5}$

Etapa 2.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 x}{5} = \frac{10}{5}$

Etapa 2.4.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{10}{5}$

Etapa 2.4.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.3.1

Divida $10$ por $5$ .

$x = 2$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Converta expressões com expoentes fracionários em radicais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$5 \sqrt[3]{x^{2}} - \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 3.1.2

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$5 \sqrt[3]{x^{2}} - \frac{10}{\sqrt[3]{x^{1}}}$

Etapa 3.1.3

Qualquer número elevado a $1$ é a própria base.

$5 \sqrt[3]{x^{2}} - \frac{10}{\sqrt[3]{x}}$

Etapa 3.2

Defina o denominador em $\frac{10}{\sqrt[3]{x}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$\sqrt[3]{x} = 0$

Etapa 3.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao cubo os dois lados da equação.

${\sqrt[3]{x}}^{3} = 0^{3}$

Etapa 3.3.2

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 3.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1

Simplifique ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 3.3.2.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 3.3.2.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{1} = 0^{3}$

Etapa 3.3.2.2.1.2

Simplifique.

$x = 0^{3}$

Etapa 3.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$x = 0$

Etapa 4

Avalie $3 x^{\frac{5}{3}} - 15 x^{\frac{2}{3}}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Avalie em $x = 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua $2$ por $x$ .

$3 {(2)}^{\frac{5}{3}} - 15 {(2)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.1.2

Remova os parênteses.

$3 \cdot 2^{\frac{5}{3}} - 15 \cdot 2^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.2

Avalie em $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Substitua $0$ por $x$ .

$3 {(0)}^{\frac{5}{3}} - 15 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$3 {(0^{3})}^{\frac{5}{3}} - 15 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.2.2.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})} - 15 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.2.2.1.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.3.1

Cancele o fator comum.

$3 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})} - 15 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.2.2.1.3.2

Reescreva a expressão.

$3 \cdot 0^{5} - 15 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.2.2.1.4

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$3 \cdot 0 - 15 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.2.2.1.5

Multiplique $3$ por $0$ .

$0 - 15 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.2.2.1.6

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$0 - 15 {(0^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.2.2.1.7

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - 15 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}$

Etapa 4.2.2.1.8

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.8.1

Cancele o fator comum.

$0 - 15 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}$

Etapa 4.2.2.1.8.2

Reescreva a expressão.

$0 - 15 \cdot 0^{2}$

Etapa 4.2.2.1.9

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 - 15 \cdot 0$

Etapa 4.2.2.1.10

Multiplique $- 15$ por $0$ .

$0 + 0$

Etapa 4.2.2.2

Some $0$ e $0$ .

$0$

Etapa 4.3

Liste todos os pontos.

$(2, 3 \cdot 2^{\frac{5}{3}} - 15 \cdot 2^{\frac{2}{3}}), (0, 0)$

Etapa 5