Cálculo Exemplos

$f (x) = - 4 x + 9 x^{\frac{4}{9}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 4 x + 9 x^{\frac{4}{9}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [9 x^{\frac{4}{9}}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [9 x^{\frac{4}{9}}]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9 x^{\frac{4}{9}}]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9 x^{\frac{4}{9}}]$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$- 4 + \frac{d}{d x} [9 x^{\frac{4}{9}}]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{4}{9}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9 x^{\frac{4}{9}}$ em relação a $x$ é $9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{9}}]$ .

$- 4 + 9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{9}}]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{4}{9}$ .

$- 4 + 9 (\frac{4}{9} x^{\frac{4}{9} - 1})$

Etapa 1.1.3.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{9}{9}$ .

$- 4 + 9 (\frac{4}{9} x^{\frac{4}{9} - 1 \cdot \frac{9}{9}})$

Etapa 1.1.3.4

Combine $- 1$ e $\frac{9}{9}$ .

$- 4 + 9 (\frac{4}{9} x^{\frac{4}{9} + \frac{- 1 \cdot 9}{9}})$

Etapa 1.1.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- 4 + 9 (\frac{4}{9} x^{\frac{4 - 1 \cdot 9}{9}})$

Etapa 1.1.3.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.6.1

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$- 4 + 9 (\frac{4}{9} x^{\frac{4 - 9}{9}})$

Etapa 1.1.3.6.2

Subtraia $9$ de $4$ .

$- 4 + 9 (\frac{4}{9} x^{\frac{- 5}{9}})$

Etapa 1.1.3.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- 4 + 9 (\frac{4}{9} x^{- \frac{5}{9}})$

Etapa 1.1.3.8

Combine $\frac{4}{9}$ e $x^{- \frac{5}{9}}$ .

$- 4 + 9 \frac{4 x^{- \frac{5}{9}}}{9}$

Etapa 1.1.3.9

Combine $9$ e $\frac{4 x^{- \frac{5}{9}}}{9}$ .

$- 4 + \frac{9 (4 x^{- \frac{5}{9}})}{9}$

Etapa 1.1.3.10

Multiplique $4$ por $9$ .

$- 4 + \frac{36 x^{- \frac{5}{9}}}{9}$

Etapa 1.1.3.11

Mova $x^{- \frac{5}{9}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 + \frac{36}{9 x^{\frac{5}{9}}}$

Etapa 1.1.3.12

Fatore $9$ de $36$ .

$- 4 + \frac{9 \cdot 4}{9 x^{\frac{5}{9}}}$

Etapa 1.1.3.13

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.13.1

Fatore $9$ de $9 x^{\frac{5}{9}}$ .

$- 4 + \frac{9 \cdot 4}{9 (x^{\frac{5}{9}})}$

Etapa 1.1.3.13.2

Cancele o fator comum.

$- 4 + \frac{9 \cdot 4}{9 x^{\frac{5}{9}}}$

Etapa 1.1.3.13.3

Reescreva a expressão.

$f' (x) = - 4 + \frac{4}{x^{\frac{5}{9}}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 4 + \frac{4}{x^{\frac{5}{9}}}$ .

$- 4 + \frac{4}{x^{\frac{5}{9}}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 4 + \frac{4}{x^{\frac{5}{9}}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- 4 + \frac{4}{x^{\frac{5}{9}}} = 0$

Etapa 2.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$\frac{4}{x^{\frac{5}{9}}} = 4$

Etapa 2.3

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$x^{\frac{5}{9}}, 1$

Etapa 2.3.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$x^{\frac{5}{9}}$

Etapa 2.4

Multiplique cada termo em $\frac{4}{x^{\frac{5}{9}}} = 4$ por $x^{\frac{5}{9}}$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Multiplique cada termo em $\frac{4}{x^{\frac{5}{9}}} = 4$ por $x^{\frac{5}{9}}$ .

$\frac{4}{x^{\frac{5}{9}}} x^{\frac{5}{9}} = 4 x^{\frac{5}{9}}$

Etapa 2.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Cancele o fator comum de $x^{\frac{5}{9}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4}{x^{\frac{5}{9}}} x^{\frac{5}{9}} = 4 x^{\frac{5}{9}}$

Etapa 2.4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$4 = 4 x^{\frac{5}{9}}$

Etapa 2.5

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Reescreva a equação como $4 x^{\frac{5}{9}} = 4$ .

$4 x^{\frac{5}{9}} = 4$

Etapa 2.5.2

Divida cada termo em $4 x^{\frac{5}{9}} = 4$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1

Divida cada termo em $4 x^{\frac{5}{9}} = 4$ por $4$ .

$\frac{4 x^{\frac{5}{9}}}{4} = \frac{4}{4}$

Etapa 2.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x^{\frac{5}{9}}}{4} = \frac{4}{4}$

Etapa 2.5.2.2.2

Divida $x^{\frac{5}{9}}$ por $1$ .

$x^{\frac{5}{9}} = \frac{4}{4}$

Etapa 2.5.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.3.1

Divida $4$ por $4$ .

$x^{\frac{5}{9}} = 1$

Etapa 2.5.3

Eleve cada lado da equação à potência de $\frac{9}{5}$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${(x^{\frac{5}{9}})}^{\frac{9}{5}} = 1^{\frac{9}{5}}$

Etapa 2.5.4

Simplifique o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.4.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.4.1.1

Simplifique ${(x^{\frac{5}{9}})}^{\frac{9}{5}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.4.1.1.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{5}{9}})}^{\frac{9}{5}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.4.1.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{5}{9} \cdot \frac{9}{5}} = 1^{\frac{9}{5}}$

Etapa 2.5.4.1.1.1.2

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.4.1.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{5}{9} \cdot \frac{9}{5}} = 1^{\frac{9}{5}}$

Etapa 2.5.4.1.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{\frac{1}{9} \cdot 9} = 1^{\frac{9}{5}}$

Etapa 2.5.4.1.1.1.3

Cancele o fator comum de $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.4.1.1.1.3.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{1}{9} \cdot 9} = 1^{\frac{9}{5}}$

Etapa 2.5.4.1.1.1.3.2

Reescreva a expressão.

$x^{1} = 1^{\frac{9}{5}}$

Etapa 2.5.4.1.1.2

Simplifique.

$x = 1^{\frac{9}{5}}$

Etapa 2.5.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.4.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$x = 1$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$- 4 + \frac{4}{\sqrt[9]{x^{5}}}$

Etapa 3.2

Defina o denominador em $\frac{4}{\sqrt[9]{x^{5}}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$\sqrt[9]{x^{5}} = 0$

Etapa 3.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve os dois lados da equação à $9$ ª potência.

${\sqrt[9]{x^{5}}}^{9} = 0^{9}$

Etapa 3.3.2

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[9]{x^{5}}$ como $x^{\frac{5}{9}}$ .

${(x^{\frac{5}{9}})}^{9} = 0^{9}$

Etapa 3.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{5}{9}})}^{9}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{5}{9} \cdot 9} = 0^{9}$

Etapa 3.3.2.2.1.2

Cancele o fator comum de $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{5}{9} \cdot 9} = 0^{9}$

Etapa 3.3.2.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{5} = 0^{9}$

Etapa 3.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$x^{5} = 0$

Etapa 3.3.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \sqrt[5]{0}$

Etapa 3.3.3.2

Simplifique $\sqrt[5]{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.1

Reescreva $0$ como $0^{5}$ .

$x = \sqrt[5]{0^{5}}$

Etapa 3.3.3.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$x = 0$

Etapa 4

Avalie $- 4 x + 9 x^{\frac{4}{9}}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua $1$ por $x$ .

$- 4 \cdot 1 + 9 {(1)}^{\frac{4}{9}}$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$- 4 + 9 {(1)}^{\frac{4}{9}}$

Etapa 4.1.2.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$- 4 + 9 \cdot 1$

Etapa 4.1.2.1.3

Multiplique $9$ por $1$ .

$- 4 + 9$

Etapa 4.1.2.2

Some $- 4$ e $9$ .

$5$

Etapa 4.2

Avalie em $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Substitua $0$ por $x$ .

$- 4 \cdot 0 + 9 {(0)}^{\frac{4}{9}}$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1

Multiplique $- 4$ por $0$ .

$0 + 9 {(0)}^{\frac{4}{9}}$

Etapa 4.2.2.1.2

Reescreva $0$ como $0^{9}$ .

$0 + 9 {(0^{9})}^{\frac{4}{9}}$

Etapa 4.2.2.1.3

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 + 9 \cdot 0^{9 (\frac{4}{9})}$

Etapa 4.2.2.1.4

Cancele o fator comum de $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.4.1

Cancele o fator comum.

$0 + 9 \cdot 0^{9 (\frac{4}{9})}$

Etapa 4.2.2.1.4.2

Reescreva a expressão.

$0 + 9 \cdot 0^{4}$

Etapa 4.2.2.1.5

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 + 9 \cdot 0$

Etapa 4.2.2.1.6

Multiplique $9$ por $0$ .

$0 + 0$

Etapa 4.2.2.2

Some $0$ e $0$ .

$0$

Etapa 4.3

Liste todos os pontos.

$(1, 5), (0, 0)$

Etapa 5