Cálculo Exemplos

$f (x) = 4 x + \frac{1}{x}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x + \frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$4 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$4 - x^{- 2}$

Etapa 1.1.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 - \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 1.1.5

Reordene os termos.

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + 4$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{1}{x^{2}} + 4$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 4$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{1}{x^{2}} + 4 = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 4 = 0$

Etapa 2.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$- \frac{1}{x^{2}} = - 4$

Etapa 2.3

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 2.3.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$x^{2}, 1$

Etapa 2.3.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$x^{2}$

Etapa 2.4

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{x^{2}} = - 4$ por $x^{2}$ para eliminar as frações.

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Etapa 2.4.1

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{x^{2}} = - 4$ por $x^{2}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} x^{2} = - 4 x^{2}$

Etapa 2.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.4.2.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 2.4.2.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{x^{2}}$ para o numerador.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - 4 x^{2}$

Etapa 2.4.2.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - 4 x^{2}$

Etapa 2.4.2.1.3

Reescreva a expressão.

$- 1 = - 4 x^{2}$

Etapa 2.5

Resolva a equação.

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Etapa 2.5.1

Reescreva a equação como $- 4 x^{2} = - 1$ .

$- 4 x^{2} = - 1$

Etapa 2.5.2

Divida cada termo em $- 4 x^{2} = - 1$ por $- 4$ e simplifique.

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Etapa 2.5.2.1

Divida cada termo em $- 4 x^{2} = - 1$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 x^{2}}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Etapa 2.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.5.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 4$ .

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Etapa 2.5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 4 x^{2}}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Etapa 2.5.2.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 4}$

Etapa 2.5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.5.2.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$x^{2} = \frac{1}{4}$

Etapa 2.5.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Etapa 2.5.4

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

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Etapa 2.5.4.1

Reescreva $\sqrt{\frac{1}{4}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Etapa 2.5.4.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Etapa 2.5.4.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.5.4.3.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Etapa 2.5.4.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm \frac{1}{2}$

Etapa 2.5.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 2.5.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 2.5.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{1}{2}$

Etapa 2.5.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

Defina o denominador em $\frac{1}{x^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} = 0$

Etapa 3.2

Resolva $x$ .

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Etapa 3.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 3.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

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Etapa 3.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 3.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 3.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 4

Avalie $4 x + \frac{1}{x}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = \frac{1}{2}$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $\frac{1}{2}$ por $x$ .

$4 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.1.2.1.1.1

Fatore $2$ de $4$ .

$2 (2) \frac{1}{2} + \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Etapa 4.1.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

$2 \cdot 2 \frac{1}{2} + \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Etapa 4.1.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$2 + \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Etapa 4.1.2.1.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$2 + 1 \cdot 2$

Etapa 4.1.2.1.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + 2$

Etapa 4.1.2.2

Some $2$ e $2$ .

$4$

Etapa 4.2

Avalie em $x = - \frac{1}{2}$ .

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Etapa 4.2.1

Substitua $- \frac{1}{2}$ por $x$ .

$4 (- \frac{1}{2}) + \frac{1}{- \frac{1}{2}}$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{2}$ para o numerador.

$4 (\frac{- 1}{2}) + \frac{1}{- \frac{1}{2}}$

Etapa 4.2.2.1.1.2

Fatore $2$ de $4$ .

$2 (2) \frac{- 1}{2} + \frac{1}{- \frac{1}{2}}$

Etapa 4.2.2.1.1.3

Cancele o fator comum.

$2 \cdot 2 \frac{- 1}{2} + \frac{1}{- \frac{1}{2}}$

Etapa 4.2.2.1.1.4

Reescreva a expressão.

$2 \cdot - 1 + \frac{1}{- \frac{1}{2}}$

Etapa 4.2.2.1.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 + \frac{1}{- \frac{1}{2}}$

Etapa 4.2.2.1.3

Cancele o fator comum de $1$ e $- 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.3.1

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$- 2 + \frac{- 1 (- 1)}{- \frac{1}{2}}$

Etapa 4.2.2.1.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- 2 - \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Etapa 4.2.2.1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- 2 - (1 \cdot 2)$

Etapa 4.2.2.1.5

Multiplique $- (1 \cdot 2)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.5.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$- 2 - 1 \cdot 2$

Etapa 4.2.2.1.5.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 - 2$

Etapa 4.2.2.2

Subtraia $2$ de $- 2$ .

$- 4$

Etapa 4.3

Avalie em $x = 0$ .

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Etapa 4.3.1

Substitua $0$ por $x$ .

$4 (0) + \frac{1}{0}$

Etapa 4.3.2

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 4.4

Liste todos os pontos.

$(\frac{1}{2}, 4), (- \frac{1}{2}, - 4)$

Etapa 5