Cálculo Exemplos

$f (x) = 4 x^{3} - 4 x$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{3} - 4 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{3}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $3$ por $4$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} x$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 4 \cdot 1$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 4$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $12 x^{2} - 4$ .

$12 x^{2} - 4$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $12 x^{2} - 4 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$12 x^{2} - 4 = 0$

Etapa 2.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$12 x^{2} = 4$

Etapa 2.3

Divida cada termo em $12 x^{2} = 4$ por $12$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Divida cada termo em $12 x^{2} = 4$ por $12$ .

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{4}{12}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Cancele o fator comum de $12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{4}{12}$

Etapa 2.3.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{4}{12}$

Etapa 2.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Cancele o fator comum de $4$ e $12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1.1

Fatore $4$ de $4$ .

$x^{2} = \frac{4 (1)}{12}$

Etapa 2.3.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1.2.1

Fatore $4$ de $12$ .

$x^{2} = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}$

Etapa 2.3.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$x^{2} = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}$

Etapa 2.3.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x^{2} = \frac{1}{3}$

Etapa 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

Etapa 2.5

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Reescreva $\sqrt{\frac{1}{3}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Etapa 2.5.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Etapa 2.5.3

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Etapa 2.5.4

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.4.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 2.5.4.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Etapa 2.5.4.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Etapa 2.5.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Etapa 2.5.4.5

Some $1$ e $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 2.5.4.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.5.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 2.5.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.5.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.5.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Etapa 2.5.4.6.5

Avalie o expoente.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 2.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 2.6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 2.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 4

Avalie $4 x^{3} - 4 x$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Avalie em $x = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua $\frac{\sqrt{3}}{3}$ por $x$ .

$4 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{3} - 4 \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$4 \frac{{\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}} - 4 \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 4.1.2.1.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.2.1

Reescreva ${\sqrt{3}}^{3}$ como $\sqrt{3^{3}}$ .

$4 \frac{\sqrt{3^{3}}}{3^{3}} - 4 \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 4.1.2.1.2.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$4 \frac{\sqrt{27}}{3^{3}} - 4 \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 4.1.2.1.2.3

Reescreva $27$ como $3^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.2.3.1

Fatore $9$ de $27$ .

$4 \frac{\sqrt{9 (3)}}{3^{3}} - 4 \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 4.1.2.1.2.3.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$4 \frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{3^{3}} - 4 \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 4.1.2.1.2.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$4 \frac{3 \sqrt{3}}{3^{3}} - 4 \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 4.1.2.1.3

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$4 \frac{3 \sqrt{3}}{27} - 4 \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 4.1.2.1.4

Cancele o fator comum de $3$ e $27$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.4.1

Fatore $3$ de $3 \sqrt{3}$ .

$4 \frac{3 (\sqrt{3})}{27} - 4 \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 4.1.2.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.4.2.1

Fatore $3$ de $27$ .

$4 \frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 9} - 4 \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 4.1.2.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$4 \frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 9} - 4 \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 4.1.2.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$4 \frac{\sqrt{3}}{9} - 4 \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 4.1.2.1.5

Combine $4$ e $\frac{\sqrt{3}}{9}$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{9} - 4 \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 4.1.2.1.6

Combine $- 4$ e $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{9} + \frac{- 4 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 4.1.2.1.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{4 \sqrt{3}}{9} - \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 4.1.2.2

Para escrever $- \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{9} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 4.1.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $9$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.3.1

Multiplique $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{9} - \frac{4 \sqrt{3} \cdot 3}{3 \cdot 3}$

Etapa 4.1.2.3.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{9} - \frac{4 \sqrt{3} \cdot 3}{9}$

Etapa 4.1.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{4 \sqrt{3} - 4 \sqrt{3} \cdot 3}{9}$

Etapa 4.1.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.5.1

Multiplique $3$ por $- 4$ .

$\frac{4 \sqrt{3} - 12 \sqrt{3}}{9}$

Etapa 4.1.2.5.2

Subtraia $12 \sqrt{3}$ de $4 \sqrt{3}$ .

$\frac{- 8 \sqrt{3}}{9}$

Etapa 4.1.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{8 \sqrt{3}}{9}$

Etapa 4.2

Avalie em $x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Substitua $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ por $x$ .

$4 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{3} - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$4 ({(- 1)}^{3} {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{3}) - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Etapa 4.2.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$4 ({(- 1)}^{3} \frac{{\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}}) - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Etapa 4.2.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$4 (- \frac{{\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}}) - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Etapa 4.2.2.1.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.3.1

Reescreva ${\sqrt{3}}^{3}$ como $\sqrt{3^{3}}$ .

$4 (- \frac{\sqrt{3^{3}}}{3^{3}}) - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Etapa 4.2.2.1.3.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$4 (- \frac{\sqrt{27}}{3^{3}}) - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Etapa 4.2.2.1.3.3

Reescreva $27$ como $3^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.3.3.1

Fatore $9$ de $27$ .

$4 (- \frac{\sqrt{9 (3)}}{3^{3}}) - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Etapa 4.2.2.1.3.3.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$4 (- \frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{3^{3}}) - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Etapa 4.2.2.1.3.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$4 (- \frac{3 \sqrt{3}}{3^{3}}) - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Etapa 4.2.2.1.4

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$4 (- \frac{3 \sqrt{3}}{27}) - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Etapa 4.2.2.1.5

Cancele o fator comum de $3$ e $27$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.5.1

Fatore $3$ de $3 \sqrt{3}$ .

$4 (- \frac{3 (\sqrt{3})}{27}) - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Etapa 4.2.2.1.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.5.2.1

Fatore $3$ de $27$ .

$4 (- \frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 9}) - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Etapa 4.2.2.1.5.2.2

Cancele o fator comum.

$4 (- \frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 9}) - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Etapa 4.2.2.1.5.2.3

Reescreva a expressão.

$4 (- \frac{\sqrt{3}}{9}) - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Etapa 4.2.2.1.6

Multiplique $4 (- \frac{\sqrt{3}}{9})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.6.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$- 4 \frac{\sqrt{3}}{9} - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Etapa 4.2.2.1.6.2

Combine $- 4$ e $\frac{\sqrt{3}}{9}$ .

$\frac{- 4 \sqrt{3}}{9} - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Etapa 4.2.2.1.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{(4) \sqrt{3}}{9} - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Etapa 4.2.2.1.8

Multiplique $- 4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.8.1

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{9} + 4 \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 4.2.2.1.8.2

Combine $4$ e $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{9} + \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 4.2.2.2

Para escrever $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{9} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 4.2.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $9$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.3.1

Multiplique $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{9} + \frac{4 \sqrt{3} \cdot 3}{3 \cdot 3}$

Etapa 4.2.2.3.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{9} + \frac{4 \sqrt{3} \cdot 3}{9}$

Etapa 4.2.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 4 \sqrt{3} + 4 \sqrt{3} \cdot 3}{9}$

Etapa 4.2.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.5.1

Multiplique $3$ por $4$ .

$\frac{- 4 \sqrt{3} + 12 \sqrt{3}}{9}$

Etapa 4.2.2.5.2

Some $- 4 \sqrt{3}$ e $12 \sqrt{3}$ .

$\frac{8 \sqrt{3}}{9}$

Etapa 4.3

Liste todos os pontos.

$(\frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{8 \sqrt{3}}{9}), (- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{8 \sqrt{3}}{9})$

Etapa 5