Cálculo Exemplos

$y \cos (x) = 2 x^{2} + 4 y^{2}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y \cos (x)) = \frac{d}{d x} (2 x^{2} + 4 y^{2})$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = y$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$y \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$y (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$y (- \sin (x)) + \cos (x) y'$

Etapa 2.4

Reordene os termos.

$- y \sin (x) + \cos (x) y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{2} + 4 y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{2}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Etapa 3.2.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [4 y^{2}]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 y^{2}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$4 x + 4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 3.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$4 x + 4 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 3.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 x + 4 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 3.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$4 x + 4 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 3.3.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$4 x + 4 (2 y y')$

Etapa 3.3.4

Multiplique $2$ por $4$ .

$4 x + 8 y y'$

Etapa 3.4

Reordene os termos.

$8 y y' + 4 x$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$- y \sin (x) + \cos (x) y' = 8 y y' + 4 x$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.1.1

Reordene os fatores em $- y \sin (x) + \cos (x) y'$ .

$- y \sin (x) + y' \cos (x) = 8 y y' + 4 x$

Etapa 5.2

Subtraia $8 y y'$ dos dois lados da equação.

$- y \sin (x) + y' \cos (x) - 8 y y' = 4 x$

Etapa 5.3

Some $y \sin (x)$ aos dois lados da equação.

$y' \cos (x) - 8 y y' = 4 x + y \sin (x)$

Etapa 5.4

Fatore $y'$ de $y' \cos (x) - 8 y y'$ .

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Etapa 5.4.1

Fatore $y'$ de $y' \cos (x)$ .

$y' (\cos (x)) - 8 y y' = 4 x + y \sin (x)$

Etapa 5.4.2

Fatore $y'$ de $- 8 y y'$ .

$y' (\cos (x)) + y' (- 8 y) = 4 x + y \sin (x)$

Etapa 5.4.3

Fatore $y'$ de $y' (\cos (x)) + y' (- 8 y)$ .

$y' (\cos (x) - 8 y) = 4 x + y \sin (x)$

Etapa 5.5

Divida cada termo em $y' (\cos (x) - 8 y) = 4 x + y \sin (x)$ por $\cos (x) - 8 y$ e simplifique.

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Etapa 5.5.1

Divida cada termo em $y' (\cos (x) - 8 y) = 4 x + y \sin (x)$ por $\cos (x) - 8 y$ .

$\frac{y' (\cos (x) - 8 y)}{\cos (x) - 8 y} = \frac{4 x}{\cos (x) - 8 y} + \frac{y \sin (x)}{\cos (x) - 8 y}$

Etapa 5.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.5.2.1

Cancele o fator comum de $\cos (x) - 8 y$ .

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Etapa 5.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (\cos (x) - 8 y)}{\cos (x) - 8 y} = \frac{4 x}{\cos (x) - 8 y} + \frac{y \sin (x)}{\cos (x) - 8 y}$

Etapa 5.5.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{4 x}{\cos (x) - 8 y} + \frac{y \sin (x)}{\cos (x) - 8 y}$

Etapa 5.5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.5.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{4 x + y \sin (x)}{\cos (x) - 8 y}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x + y \sin (x)}{\cos (x) - 8 y}$