Cálculo Exemplos

$f (x) = 3 x^{4} + 6 x^{3} - 5$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{4} + 6 x^{3} - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{4}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $4$ por $3$ .

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x^{3}]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x^{3}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 x^{3} + 6 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$12 x^{3} + 6 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $3$ por $6$ .

$12 x^{3} + 18 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.4.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$12 x^{3} + 18 x^{2} + 0$

Etapa 1.1.4.2

Some $12 x^{3} + 18 x^{2}$ e $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 18 x^{2}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $12 x^{3} + 18 x^{2}$ .

$12 x^{3} + 18 x^{2}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $12 x^{3} + 18 x^{2} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$12 x^{3} + 18 x^{2} = 0$

Etapa 2.2

Fatore $6 x^{2}$ de $12 x^{3} + 18 x^{2}$ .

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Etapa 2.2.1

Fatore $6 x^{2}$ de $12 x^{3}$ .

$6 x^{2} (2 x) + 18 x^{2} = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore $6 x^{2}$ de $18 x^{2}$ .

$6 x^{2} (2 x) + 6 x^{2} (3) = 0$

Etapa 2.2.3

Fatore $6 x^{2}$ de $6 x^{2} (2 x) + 6 x^{2} (3)$ .

$6 x^{2} (2 x + 3) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$2 x + 3 = 0$

Etapa 2.4

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Etapa 2.4.2

Resolva $x^{2} = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.4.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 2.4.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

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Etapa 2.4.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 2.4.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 2.4.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.5

Defina $2 x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $2 x + 3$ como igual a $0$ .

$2 x + 3 = 0$

Etapa 2.5.2

Resolva $2 x + 3 = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.5.2.1

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$2 x = - 3$

Etapa 2.5.2.2

Divida cada termo em $2 x = - 3$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 2.5.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = - 3$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Etapa 2.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Etapa 2.5.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Etapa 2.5.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.5.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{3}{2}$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $6 x^{2} (2 x + 3) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - \frac{3}{2}$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 4

Avalie $3 x^{4} + 6 x^{3} - 5$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = 0$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

$3 {(0)}^{4} + 6 {(0)}^{3} - 5$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$3 \cdot 0 + 6 {(0)}^{3} - 5$

Etapa 4.1.2.1.2

Multiplique $3$ por $0$ .

$0 + 6 {(0)}^{3} - 5$

Etapa 4.1.2.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 + 6 \cdot 0 - 5$

Etapa 4.1.2.1.4

Multiplique $6$ por $0$ .

$0 + 0 - 5$

Etapa 4.1.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 4.1.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$0 - 5$

Etapa 4.1.2.2.2

Subtraia $5$ de $0$ .

$- 5$

Etapa 4.2

Avalie em $x = - \frac{3}{2}$ .

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Etapa 4.2.1

Substitua $- \frac{3}{2}$ por $x$ .

$3 {(- \frac{3}{2})}^{4} + 6 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 5$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

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Etapa 4.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 4.2.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{3}{2}$ .

$3 ({(- 1)}^{4} {(\frac{3}{2})}^{4}) + 6 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 5$

Etapa 4.2.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{3}{2}$ .

$3 ({(- 1)}^{4} \frac{3^{4}}{2^{4}}) + 6 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 5$

Etapa 4.2.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$3 (1 \frac{3^{4}}{2^{4}}) + 6 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 5$

Etapa 4.2.2.1.3

Multiplique $\frac{3^{4}}{2^{4}}$ por $1$ .

$3 \frac{3^{4}}{2^{4}} + 6 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 5$

Etapa 4.2.2.1.4

Eleve $3$ à potência de $4$ .

$3 \frac{81}{2^{4}} + 6 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 5$

Etapa 4.2.2.1.5

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$3 (\frac{81}{16}) + 6 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 5$

Etapa 4.2.2.1.6

Multiplique $3 (\frac{81}{16})$ .

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Etapa 4.2.2.1.6.1

Combine $3$ e $\frac{81}{16}$ .

$\frac{3 \cdot 81}{16} + 6 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 5$

Etapa 4.2.2.1.6.2

Multiplique $3$ por $81$ .

$\frac{243}{16} + 6 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 5$

Etapa 4.2.2.1.7

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.7.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{3}{2}$ .

$\frac{243}{16} + 6 ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3}) - 5$

Etapa 4.2.2.1.7.2

Aplique a regra do produto a $\frac{3}{2}$ .

$\frac{243}{16} + 6 ({(- 1)}^{3} \frac{3^{3}}{2^{3}}) - 5$

Etapa 4.2.2.1.8

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$\frac{243}{16} + 6 (- \frac{3^{3}}{2^{3}}) - 5$

Etapa 4.2.2.1.9

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$\frac{243}{16} + 6 (- \frac{27}{2^{3}}) - 5$

Etapa 4.2.2.1.10

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$\frac{243}{16} + 6 (- \frac{27}{8}) - 5$

Etapa 4.2.2.1.11

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.2.1.11.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{27}{8}$ para o numerador.

$\frac{243}{16} + 6 (\frac{- 27}{8}) - 5$

Etapa 4.2.2.1.11.2

Fatore $2$ de $6$ .

$\frac{243}{16} + 2 (3) \frac{- 27}{8} - 5$

Etapa 4.2.2.1.11.3

Fatore $2$ de $8$ .

$\frac{243}{16} + 2 \cdot 3 \frac{- 27}{2 \cdot 4} - 5$

Etapa 4.2.2.1.11.4

Cancele o fator comum.

$\frac{243}{16} + 2 \cdot 3 \frac{- 27}{2 \cdot 4} - 5$

Etapa 4.2.2.1.11.5

Reescreva a expressão.

$\frac{243}{16} + 3 (\frac{- 27}{4}) - 5$

Etapa 4.2.2.1.12

Combine $3$ e $\frac{- 27}{4}$ .

$\frac{243}{16} + \frac{3 \cdot - 27}{4} - 5$

Etapa 4.2.2.1.13

Multiplique $3$ por $- 27$ .

$\frac{243}{16} + \frac{- 81}{4} - 5$

Etapa 4.2.2.1.14

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{243}{16} - \frac{81}{4} - 5$

Etapa 4.2.2.2

Encontre o denominador comum.

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Etapa 4.2.2.2.1

Multiplique $\frac{81}{4}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{243}{16} - (\frac{81}{4} \cdot \frac{4}{4}) - 5$

Etapa 4.2.2.2.2

Multiplique $\frac{81}{4}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{243}{16} - \frac{81 \cdot 4}{4 \cdot 4} - 5$

Etapa 4.2.2.2.3

Escreva $- 5$ como uma fração com denominador $1$ .

$\frac{243}{16} - \frac{81 \cdot 4}{4 \cdot 4} + \frac{- 5}{1}$

Etapa 4.2.2.2.4

Multiplique $\frac{- 5}{1}$ por $\frac{16}{16}$ .

$\frac{243}{16} - \frac{81 \cdot 4}{4 \cdot 4} + \frac{- 5}{1} \cdot \frac{16}{16}$

Etapa 4.2.2.2.5

Multiplique $\frac{- 5}{1}$ por $\frac{16}{16}$ .

$\frac{243}{16} - \frac{81 \cdot 4}{4 \cdot 4} + \frac{- 5 \cdot 16}{16}$

Etapa 4.2.2.2.6

Multiplique $4$ por $4$ .

$\frac{243}{16} - \frac{81 \cdot 4}{16} + \frac{- 5 \cdot 16}{16}$

Etapa 4.2.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{243 - 81 \cdot 4 - 5 \cdot 16}{16}$

Etapa 4.2.2.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.2.4.1

Multiplique $- 81$ por $4$ .

$\frac{243 - 324 - 5 \cdot 16}{16}$

Etapa 4.2.2.4.2

Multiplique $- 5$ por $16$ .

$\frac{243 - 324 - 80}{16}$

Etapa 4.2.2.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.2.2.5.1

Subtraia $324$ de $243$ .

$\frac{- 81 - 80}{16}$

Etapa 4.2.2.5.2

Subtraia $80$ de $- 81$ .

$\frac{- 161}{16}$

Etapa 4.2.2.5.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{161}{16}$

Etapa 4.3

Liste todos os pontos.

$(0, - 5), (- \frac{3}{2}, - \frac{161}{16})$

Etapa 5