Cálculo Exemplos

$f (x) = - 4 x^{\frac{3}{2}} + 24 x + 13$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 4 x^{\frac{3}{2}} + 24 x + 13$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{3}{2}}]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x^{\frac{3}{2}}$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{3}{2}$ .

$- 4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Etapa 1.1.2.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- 4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Etapa 1.1.2.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$- 4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Etapa 1.1.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- 4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Etapa 1.1.2.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.2.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Etapa 1.1.2.6.2

Subtraia $2$ de $3$ .

$- 4 (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Etapa 1.1.2.7

Combine $\frac{3}{2}$ e $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- 4 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Etapa 1.1.2.8

Combine $- 4$ e $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{- 4 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Etapa 1.1.2.9

Multiplique $3$ por $- 4$ .

$\frac{- 12 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Etapa 1.1.2.10

Fatore $2$ de $- 12 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Etapa 1.1.2.11

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.1.2.11.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Etapa 1.1.2.11.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Etapa 1.1.2.11.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 6 x^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Etapa 1.1.2.11.4

Divida $- 6 x^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$- 6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [24 x]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $24$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $24 x$ em relação a $x$ é $24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 x^{\frac{1}{2}} + 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [13]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 6 x^{\frac{1}{2}} + 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [13]$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $24$ por $1$ .

$- 6 x^{\frac{1}{2}} + 24 + \frac{d}{d x} [13]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.4.1

Como $13$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $13$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 6 x^{\frac{1}{2}} + 24 + 0$

Etapa 1.1.4.2

Some $- 6 x^{\frac{1}{2}} + 24$ e $0$ .

$f' (x) = - 6 x^{\frac{1}{2}} + 24$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 6 x^{\frac{1}{2}} + 24$ .

$- 6 x^{\frac{1}{2}} + 24$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 6 x^{\frac{1}{2}} + 24 = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- 6 x^{\frac{1}{2}} + 24 = 0$

Etapa 2.2

Subtraia $24$ dos dois lados da equação.

$- 6 x^{\frac{1}{2}} = - 24$

Etapa 2.3

Eleve cada lado da equação à potência de $2$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${(- 6 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 24)}^{2}$

Etapa 2.4

Simplifique o expoente.

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Etapa 2.4.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.4.1.1

Simplifique ${(- 6 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 2.4.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- 6 x^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 6)}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 24)}^{2}$

Etapa 2.4.1.1.2

Eleve $- 6$ à potência de $2$ .

$36 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 24)}^{2}$

Etapa 2.4.1.1.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 2.4.1.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$36 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 24)}^{2}$

Etapa 2.4.1.1.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.4.1.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$36 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 24)}^{2}$

Etapa 2.4.1.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$36 x^{1} = {(- 24)}^{2}$

Etapa 2.4.1.1.4

Simplifique.

$36 x = {(- 24)}^{2}$

Etapa 2.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.4.2.1

Eleve $- 24$ à potência de $2$ .

$36 x = 576$

Etapa 2.5

Divida cada termo em $36 x = 576$ por $36$ e simplifique.

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Etapa 2.5.1

Divida cada termo em $36 x = 576$ por $36$ .

$\frac{36 x}{36} = \frac{576}{36}$

Etapa 2.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.5.2.1

Cancele o fator comum de $36$ .

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Etapa 2.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{36 x}{36} = \frac{576}{36}$

Etapa 2.5.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{576}{36}$

Etapa 2.5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.5.3.1

Divida $576$ por $36$ .

$x = 16$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

Converta expressões com expoentes fracionários em radicais.

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Etapa 3.1.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$- 6 \sqrt{x^{1}} + 24$

Etapa 3.1.2

Qualquer número elevado a $1$ é a própria base.

$- 6 \sqrt{x} + 24$

Etapa 3.2

Defina o radicando em $\sqrt{x}$ como menor do que $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x < 0$

Etapa 3.3

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

Etapa 4

Avalie $- 4 x^{\frac{3}{2}} + 24 x + 13$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = 16$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $16$ por $x$ .

$- 4 {(16)}^{\frac{3}{2}} + 24 (16) + 13$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$- 4 {(4^{2})}^{\frac{3}{2}} + 24 (16) + 13$

Etapa 4.1.2.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} + 24 (16) + 13$

Etapa 4.1.2.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.3.1

Cancele o fator comum.

$- 4 \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} + 24 (16) + 13$

Etapa 4.1.2.1.3.2

Reescreva a expressão.

$- 4 \cdot 4^{3} + 24 (16) + 13$

Etapa 4.1.2.1.4

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$- 4 \cdot 64 + 24 (16) + 13$

Etapa 4.1.2.1.5

Multiplique $- 4$ por $64$ .

$- 256 + 24 (16) + 13$

Etapa 4.1.2.1.6

Multiplique $24$ por $16$ .

$- 256 + 384 + 13$

Etapa 4.1.2.2

Simplifique somando os números.

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Etapa 4.1.2.2.1

Some $- 256$ e $384$ .

$128 + 13$

Etapa 4.1.2.2.2

Some $128$ e $13$ .

$141$

Etapa 4.2

Liste todos os pontos.

$(16, 141)$

Etapa 5