Cálculo Exemplos

$y (x + 1) + x^{2} = 0$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y (x + 1) + x^{2}) = \frac{d}{d x} (0)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y (x + 1) + x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [y (x + 1)] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [y (x + 1)] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [y (x + 1)]$ .

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Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = y$ e $g (x) = x + 1$ .

$y \frac{d}{d x} [x + 1] + (x + 1) \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$y (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$y (1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.2.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$y (1 + 0) + (x + 1) \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.2.5

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$y (1 + 0) + (x + 1) y' + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.2.6

Some $1$ e $0$ .

$y \cdot 1 + (x + 1) y' + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.2.7

Multiplique $y$ por $1$ .

$y + (x + 1) y' + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$y + (x + 1) y' + 2 x$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y + x y' + 1 y' + 2 x$

Etapa 2.4.2

Multiplique $y'$ por $1$ .

$y + x y' + y' + 2 x$

Etapa 2.4.3

Reordene os termos.

$x y' + 2 x + y + y'$

Etapa 3

Como $0$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $0$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$x y' + 2 x + y + y' = 0$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.1.1

Subtraia $2 x$ dos dois lados da equação.

$x y' + y + y' = - 2 x$

Etapa 5.1.2

Subtraia $y$ dos dois lados da equação.

$x y' + y' = - 2 x - y$

Etapa 5.2

Fatore $y'$ de $x y' + y'$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $y'$ de $x y'$ .

$y' x + y' = - 2 x - y$

Etapa 5.2.2

Eleve $y'$ à potência de $1$ .

$y' x + y' = - 2 x - y$

Etapa 5.2.3

Fatore $y'$ de ${y'}^{1}$ .

$y' x + y' \cdot 1 = - 2 x - y$

Etapa 5.2.4

Fatore $y'$ de $y' x + y' \cdot 1$ .

$y' (x + 1) = - 2 x - y$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $y' (x + 1) = - 2 x - y$ por $x + 1$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $y' (x + 1) = - 2 x - y$ por $x + 1$ .

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{- 2 x}{x + 1} + \frac{- y}{x + 1}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{- 2 x}{x + 1} + \frac{- y}{x + 1}$

Etapa 5.3.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{x + 1} + \frac{- y}{x + 1}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.3.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{2 x}{x + 1} + \frac{- y}{x + 1}$

Etapa 5.3.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{2 x}{x + 1} - \frac{y}{x + 1}$

Etapa 5.3.3.2

Simplifique os termos.

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Etapa 5.3.3.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{- 2 x - y}{x + 1}$

Etapa 5.3.3.2.2

Fatore $- 1$ de $- 2 x$ .

$y' = \frac{- (2 x) - y}{x + 1}$

Etapa 5.3.3.2.3

Fatore $- 1$ de $- y$ .

$y' = \frac{- (2 x) - (y)}{x + 1}$

Etapa 5.3.3.2.4

Fatore $- 1$ de $- (2 x) - (y)$ .

$y' = \frac{- (2 x + y)}{x + 1}$

Etapa 5.3.3.2.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.3.3.2.5.1

Reescreva $- (2 x + y)$ como $- 1 (2 x + y)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x + y)}{x + 1}$

Etapa 5.3.3.2.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{2 x + y}{x + 1}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x + y}{x + 1}$