Cálculo Exemplos

$f (x) = 4 x^{3} - 15 x^{2} - 72 x + 5$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{3} - 15 x^{2} - 72 x + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 72 x) + \frac{d}{d x} (5)$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{3}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 72 x) + \frac{d}{d x} (5)$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 72 x) + \frac{d}{d x} (5)$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $3$ por $4$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 72 x) + \frac{d}{d x} (5)$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 15 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Como $- 15$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 15 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 15 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 72 x) + \frac{d}{d x} (5)$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 15 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 72 x) + \frac{d}{d x} (5)$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 15$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 30 x + \frac{d}{d x} (- 72 x) + \frac{d}{d x} (5)$

Etapa 1.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 72 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.1

Como $- 72$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 72 x$ em relação a $x$ é $- 72 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 30 x - 72 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (5)$

Etapa 1.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 30 x - 72 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (5)$

Etapa 1.1.4.3

Multiplique $- 72$ por $1$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 30 x - 72 + \frac{d}{d x} (5)$

Etapa 1.1.5

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 30 x - 72 + 0$

Etapa 1.1.5.2

Some $12 x^{2} - 30 x - 72$ e $0$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 30 x - 72$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $12 x^{2} - 30 x - 72$ .

$12 x^{2} - 30 x - 72$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $12 x^{2} - 30 x - 72 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$12 x^{2} - 30 x - 72 = 0$

Etapa 2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Fatore $6$ de $12 x^{2} - 30 x - 72$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Fatore $6$ de $12 x^{2}$ .

$6 (2 x^{2}) - 30 x - 72 = 0$

Etapa 2.2.1.2

Fatore $6$ de $- 30 x$ .

$6 (2 x^{2}) + 6 (- 5 x) - 72 = 0$

Etapa 2.2.1.3

Fatore $6$ de $- 72$ .

$6 (2 x^{2}) + 6 (- 5 x) + 6 (- 12) = 0$

Etapa 2.2.1.4

Fatore $6$ de $6 (2 x^{2}) + 6 (- 5 x)$ .

$6 (2 x^{2} - 5 x) + 6 (- 12) = 0$

Etapa 2.2.1.5

Fatore $6$ de $6 (2 x^{2} - 5 x) + 6 (- 12)$ .

$6 (2 x^{2} - 5 x - 12) = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot - 12 = - 24$ e cuja soma é $b = - 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1.1

Fatore $- 5$ de $- 5 x$ .

$6 (2 x^{2} - 5 x - 12) = 0$

Etapa 2.2.2.1.1.2

Reescreva $- 5$ como $3$ mais $- 8$

$6 (2 x^{2} + (3 - 8) x - 12) = 0$

Etapa 2.2.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$6 (2 x^{2} + 3 x - 8 x - 12) = 0$

Etapa 2.2.2.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$6 ((2 x^{2} + 3 x) - 8 x - 12) = 0$

Etapa 2.2.2.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$6 (x (2 x + 3) - 4 (2 x + 3)) = 0$

Etapa 2.2.2.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 x + 3$ .

$6 ((2 x + 3) (x - 4)) = 0$

Etapa 2.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$6 (2 x + 3) (x - 4) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2 x + 3 = 0$

$x - 4 = 0$

Etapa 2.4

Defina $2 x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Defina $2 x + 3$ como igual a $0$ .

$2 x + 3 = 0$

Etapa 2.4.2

Resolva $2 x + 3 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$2 x = - 3$

Etapa 2.4.2.2

Divida cada termo em $2 x = - 3$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = - 3$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Etapa 2.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Etapa 2.4.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Etapa 2.4.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{3}{2}$

Etapa 2.5

Defina $x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 2.5.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $6 (2 x + 3) (x - 4) = 0$ verdadeiro.

$x = - \frac{3}{2}, 4$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 4

Avalie $4 x^{3} - 15 x^{2} - 72 x + 5$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Avalie em $x = - \frac{3}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua $- \frac{3}{2}$ por $x$ .

$4 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 15 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2}) + 5$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{3}{2}$ .

$4 ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3}) - 15 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2}) + 5$

Etapa 4.1.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{3}{2}$ .

$4 ({(- 1)}^{3} \frac{3^{3}}{2^{3}}) - 15 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2}) + 5$

Etapa 4.1.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$4 (- \frac{3^{3}}{2^{3}}) - 15 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2}) + 5$

Etapa 4.1.2.1.3

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$4 (- \frac{27}{2^{3}}) - 15 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2}) + 5$

Etapa 4.1.2.1.4

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$4 (- \frac{27}{8}) - 15 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2}) + 5$

Etapa 4.1.2.1.5

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.5.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{27}{8}$ para o numerador.

$4 (\frac{- 27}{8}) - 15 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2}) + 5$

Etapa 4.1.2.1.5.2

Fatore $4$ de $8$ .

$4 \frac{- 27}{4 (2)} - 15 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2}) + 5$

Etapa 4.1.2.1.5.3

Cancele o fator comum.

$4 \frac{- 27}{4 \cdot 2} - 15 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2}) + 5$

Etapa 4.1.2.1.5.4

Reescreva a expressão.

$\frac{- 27}{2} - 15 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2}) + 5$

Etapa 4.1.2.1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{27}{2} - 15 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2}) + 5$

Etapa 4.1.2.1.7

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.7.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{3}{2}$ .

$- \frac{27}{2} - 15 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}) - 72 (- \frac{3}{2}) + 5$

Etapa 4.1.2.1.7.2

Aplique a regra do produto a $\frac{3}{2}$ .

$- \frac{27}{2} - 15 ({(- 1)}^{2} \frac{3^{2}}{2^{2}}) - 72 (- \frac{3}{2}) + 5$

Etapa 4.1.2.1.8

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$- \frac{27}{2} - 15 (1 \frac{3^{2}}{2^{2}}) - 72 (- \frac{3}{2}) + 5$

Etapa 4.1.2.1.9

Multiplique $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$- \frac{27}{2} - 15 \frac{3^{2}}{2^{2}} - 72 (- \frac{3}{2}) + 5$

Etapa 4.1.2.1.10

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$- \frac{27}{2} - 15 \frac{9}{2^{2}} - 72 (- \frac{3}{2}) + 5$

Etapa 4.1.2.1.11

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$- \frac{27}{2} - 15 (\frac{9}{4}) - 72 (- \frac{3}{2}) + 5$

Etapa 4.1.2.1.12

Multiplique $- 15 (\frac{9}{4})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.12.1

Combine $- 15$ e $\frac{9}{4}$ .

$- \frac{27}{2} + \frac{- 15 \cdot 9}{4} - 72 (- \frac{3}{2}) + 5$

Etapa 4.1.2.1.12.2

Multiplique $- 15$ por $9$ .

$- \frac{27}{2} + \frac{- 135}{4} - 72 (- \frac{3}{2}) + 5$

Etapa 4.1.2.1.13

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{27}{2} - \frac{135}{4} - 72 (- \frac{3}{2}) + 5$

Etapa 4.1.2.1.14

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.14.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{3}{2}$ para o numerador.

$- \frac{27}{2} - \frac{135}{4} - 72 (\frac{- 3}{2}) + 5$

Etapa 4.1.2.1.14.2

Fatore $2$ de $- 72$ .

$- \frac{27}{2} - \frac{135}{4} + 2 (- 36) \frac{- 3}{2} + 5$

Etapa 4.1.2.1.14.3

Cancele o fator comum.

$- \frac{27}{2} - \frac{135}{4} + 2 \cdot - 36 \frac{- 3}{2} + 5$

Etapa 4.1.2.1.14.4

Reescreva a expressão.

$- \frac{27}{2} - \frac{135}{4} - 36 \cdot - 3 + 5$

Etapa 4.1.2.1.15

Multiplique $- 36$ por $- 3$ .

$- \frac{27}{2} - \frac{135}{4} + 108 + 5$

Etapa 4.1.2.2

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.2.1

Multiplique $\frac{27}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$- (\frac{27}{2} \cdot \frac{2}{2}) - \frac{135}{4} + 108 + 5$

Etapa 4.1.2.2.2

Multiplique $\frac{27}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{27 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{135}{4} + 108 + 5$

Etapa 4.1.2.2.3

Escreva $108$ como uma fração com denominador $1$ .

$- \frac{27 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{135}{4} + \frac{108}{1} + 5$

Etapa 4.1.2.2.4

Multiplique $\frac{108}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{27 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{135}{4} + \frac{108}{1} \cdot \frac{4}{4} + 5$

Etapa 4.1.2.2.5

Multiplique $\frac{108}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{27 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{135}{4} + \frac{108 \cdot 4}{4} + 5$

Etapa 4.1.2.2.6

Escreva $5$ como uma fração com denominador $1$ .

$- \frac{27 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{135}{4} + \frac{108 \cdot 4}{4} + \frac{5}{1}$

Etapa 4.1.2.2.7

Multiplique $\frac{5}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{27 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{135}{4} + \frac{108 \cdot 4}{4} + \frac{5}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 4.1.2.2.8

Multiplique $\frac{5}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{27 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{135}{4} + \frac{108 \cdot 4}{4} + \frac{5 \cdot 4}{4}$

Etapa 4.1.2.2.9

Multiplique $2$ por $2$ .

$- \frac{27 \cdot 2}{4} - \frac{135}{4} + \frac{108 \cdot 4}{4} + \frac{5 \cdot 4}{4}$

Etapa 4.1.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 27 \cdot 2 - 135 + 108 \cdot 4 + 5 \cdot 4}{4}$

Etapa 4.1.2.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.4.1

Multiplique $- 27$ por $2$ .

$\frac{- 54 - 135 + 108 \cdot 4 + 5 \cdot 4}{4}$

Etapa 4.1.2.4.2

Multiplique $108$ por $4$ .

$\frac{- 54 - 135 + 432 + 5 \cdot 4}{4}$

Etapa 4.1.2.4.3

Multiplique $5$ por $4$ .

$\frac{- 54 - 135 + 432 + 20}{4}$

Etapa 4.1.2.5

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.5.1

Subtraia $135$ de $- 54$ .

$\frac{- 189 + 432 + 20}{4}$

Etapa 4.1.2.5.2

Some $- 189$ e $432$ .

$\frac{243 + 20}{4}$

Etapa 4.1.2.5.3

Some $243$ e $20$ .

$\frac{263}{4}$

Etapa 4.2

Avalie em $x = 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Substitua $4$ por $x$ .

$4 {(4)}^{3} - 15 {(4)}^{2} - 72 \cdot 4 + 5$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1

Multiplique $4$ por ${(4)}^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1.1

Multiplique $4$ por ${(4)}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1.1.1

Eleve $4$ à potência de $1$ .

$4^{1} {(4)}^{3} - 15 {(4)}^{2} - 72 \cdot 4 + 5$

Etapa 4.2.2.1.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4^{1 + 3} - 15 {(4)}^{2} - 72 \cdot 4 + 5$

Etapa 4.2.2.1.1.2

Some $1$ e $3$ .

$4^{4} - 15 {(4)}^{2} - 72 \cdot 4 + 5$

Etapa 4.2.2.1.2

Eleve $4$ à potência de $4$ .

$256 - 15 {(4)}^{2} - 72 \cdot 4 + 5$

Etapa 4.2.2.1.3

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$256 - 15 \cdot 16 - 72 \cdot 4 + 5$

Etapa 4.2.2.1.4

Multiplique $- 15$ por $16$ .

$256 - 240 - 72 \cdot 4 + 5$

Etapa 4.2.2.1.5

Multiplique $- 72$ por $4$ .

$256 - 240 - 288 + 5$

Etapa 4.2.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.2.1

Subtraia $240$ de $256$ .

$16 - 288 + 5$

Etapa 4.2.2.2.2

Subtraia $288$ de $16$ .

$- 272 + 5$

Etapa 4.2.2.2.3

Some $- 272$ e $5$ .

$- 267$

Etapa 4.3

Liste todos os pontos.

$(- \frac{3}{2}, \frac{263}{4}), (4, - 267)$

Etapa 5