Cálculo Exemplos

$f (x) = 2 x^{3} - 6 x^{2} + 2$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{3} - 6 x^{2} + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{3}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$6 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 6$ .

$6 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.4.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$6 x^{2} - 12 x + 0$

Etapa 1.1.4.2

Some $6 x^{2} - 12 x$ e $0$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 12 x$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $6 x^{2} - 12 x$ .

$6 x^{2} - 12 x$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $6 x^{2} - 12 x = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$6 x^{2} - 12 x = 0$

Etapa 2.2

Fatore $6 x$ de $6 x^{2} - 12 x$ .

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Etapa 2.2.1

Fatore $6 x$ de $6 x^{2}$ .

$6 x (x) - 12 x = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore $6 x$ de $- 12 x$ .

$6 x (x) + 6 x (- 2) = 0$

Etapa 2.2.3

Fatore $6 x$ de $6 x (x) + 6 x (- 2)$ .

$6 x (x - 2) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0$

Etapa 2.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.5

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 2.5.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $6 x (x - 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 2$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 4

Avalie $2 x^{3} - 6 x^{2} + 2$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = 0$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

$2 {(0)}^{3} - 6 {(0)}^{2} + 2$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$2 \cdot 0 - 6 {(0)}^{2} + 2$

Etapa 4.1.2.1.2

Multiplique $2$ por $0$ .

$0 - 6 {(0)}^{2} + 2$

Etapa 4.1.2.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 - 6 \cdot 0 + 2$

Etapa 4.1.2.1.4

Multiplique $- 6$ por $0$ .

$0 + 0 + 2$

Etapa 4.1.2.2

Simplifique somando os números.

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Etapa 4.1.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$0 + 2$

Etapa 4.1.2.2.2

Some $0$ e $2$ .

$2$

Etapa 4.2

Avalie em $x = 2$ .

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Etapa 4.2.1

Substitua $2$ por $x$ .

$2 {(2)}^{3} - 6 {(2)}^{2} + 2$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.2.1.1

Multiplique $2$ por ${(2)}^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.2.2.1.1.1

Multiplique $2$ por ${(2)}^{3}$ .

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Etapa 4.2.2.1.1.1.1

Eleve $2$ à potência de $1$ .

$2^{1} {(2)}^{3} - 6 {(2)}^{2} + 2$

Etapa 4.2.2.1.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2^{1 + 3} - 6 {(2)}^{2} + 2$

Etapa 4.2.2.1.1.2

Some $1$ e $3$ .

$2^{4} - 6 {(2)}^{2} + 2$

Etapa 4.2.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$16 - 6 {(2)}^{2} + 2$

Etapa 4.2.2.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$16 - 6 \cdot 4 + 2$

Etapa 4.2.2.1.4

Multiplique $- 6$ por $4$ .

$16 - 24 + 2$

Etapa 4.2.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 4.2.2.2.1

Subtraia $24$ de $16$ .

$- 8 + 2$

Etapa 4.2.2.2.2

Some $- 8$ e $2$ .

$- 6$

Etapa 4.3

Liste todos os pontos.

$(0, 2), (2, - 6)$

Etapa 5