Cálculo Exemplos

$\ln (y + e^{2 x}) = x^{2} - 4$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (\ln (y + e^{2 x})) = \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = y + e^{2 x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $y + e^{2 x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [y + e^{2 x}]$

Etapa 2.1.2

A derivada de $\ln (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [y + e^{2 x}]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $y + e^{2 x}$ .

$\frac{1}{y + e^{2 x}} \frac{d}{d x} [y + e^{2 x}]$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y + e^{2 x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$\frac{1}{y + e^{2 x}} (\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Etapa 2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{1}{y + e^{2 x}} (y' + \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $2 x$ .

$\frac{1}{y + e^{2 x}} (y' + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{1}{y + e^{2 x}} (y' + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 2.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 x$ .

$\frac{1}{y + e^{2 x}} (y' + e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 2.5

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{y + e^{2 x}} (y' + e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 2.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{y + e^{2 x}} (y' + e^{2 x} (2 \cdot 1))$

Etapa 2.5.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{1}{y + e^{2 x}} (y' + e^{2 x} \cdot 2)$

Etapa 2.5.3.2

Mova $2$ para a esquerda de $e^{2 x}$ .

$\frac{1}{y + e^{2 x}} (y' + 2 \cdot e^{2 x})$

Etapa 2.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Reordene os fatores de $\frac{1}{y + e^{2 x}} (y' + 2 e^{2 x})$ .

$(y' + 2 e^{2 x}) \frac{1}{y + e^{2 x}}$

Etapa 2.6.2

Multiplique $y' + 2 e^{2 x}$ por $\frac{1}{y + e^{2 x}}$ .

$\frac{y' + 2 e^{2 x}}{y + e^{2 x}}$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 3.3

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + 0$

Etapa 3.4

Some $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$\frac{y' + 2 e^{2 x}}{y + e^{2 x}} = 2 x$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Multiplique os dois lados por $y + e^{2 x}$ .

$\frac{y' + 2 e^{2 x}}{y + e^{2 x}} (y + e^{2 x}) = 2 x (y + e^{2 x})$

Etapa 5.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Cancele o fator comum de $y + e^{2 x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' + 2 e^{2 x}}{y + e^{2 x}} (y + e^{2 x}) = 2 x (y + e^{2 x})$

Etapa 5.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y' + 2 e^{2 x} = 2 x (y + e^{2 x})$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y' + 2 e^{2 x} = 2 x y + 2 x e^{2 x}$

Etapa 5.3

Subtraia $2 e^{2 x}$ dos dois lados da equação.

$y' = 2 x y + 2 x e^{2 x} - 2 e^{2 x}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x y + 2 x e^{2 x} - 2 e^{2 x}$