Cálculo Exemplos

$f (x) = 2 x - \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - \frac{1}{x^{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{2}})$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{2}})$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{2}})$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$f' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{2}})$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$f' (x) = 2 - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.1.3.2

Reescreva $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f' (x) = 2 - \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.1.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Etapa 1.1.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2}$ .

$f' (x) = 2 - (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.1.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$f' (x) = 2 - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.1.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$f' (x) = 2 - (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 2 - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.1.3.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = 2 - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Etapa 1.1.3.6

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Etapa 1.1.3.6.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = 2 - (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Etapa 1.1.3.6.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f' (x) = 2 - (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Etapa 1.1.3.7

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = 2 - (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Etapa 1.1.3.8

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = 2 - (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Etapa 1.1.3.9

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = 2 - (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Etapa 1.1.3.10

Subtraia $4$ de $1$ .

$f' (x) = 2 - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Etapa 1.1.3.11

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$f' (x) = 2 + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Etapa 1.1.3.12

Multiplique $\frac{1}{x^{2}}$ por $0$ .

$f' (x) = 2 + 2 x^{- 3} + 0$

Etapa 1.1.3.13

Some $2 x^{- 3}$ e $0$ .

$f' (x) = 2 + 2 x^{- 3}$

Etapa 1.1.4

Simplifique.

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Etapa 1.1.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 2 + 2 (\frac{1}{x^{3}})$

Etapa 1.1.4.2

Combine $2$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f' (x) = 2 + \frac{2}{x^{3}}$

Etapa 1.1.4.3

Reordene os termos.

$f' (x) = \frac{2}{x^{3}} + 2$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{2}{x^{3}} + 2$ .

$\frac{2}{x^{3}} + 2$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{2}{x^{3}} + 2 = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{2}{x^{3}} + 2 = 0$

Etapa 2.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$\frac{2}{x^{3}} = - 2$

Etapa 2.3

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 2.3.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$x^{3}, 1$

Etapa 2.3.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$x^{3}$

Etapa 2.4

Multiplique cada termo em $\frac{2}{x^{3}} = - 2$ por $x^{3}$ para eliminar as frações.

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Etapa 2.4.1

Multiplique cada termo em $\frac{2}{x^{3}} = - 2$ por $x^{3}$ .

$\frac{2}{x^{3}} x^{3} = - 2 x^{3}$

Etapa 2.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.4.2.1

Cancele o fator comum de $x^{3}$ .

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Etapa 2.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{x^{3}} x^{3} = - 2 x^{3}$

Etapa 2.4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$2 = - 2 x^{3}$

Etapa 2.5

Resolva a equação.

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Etapa 2.5.1

Reescreva a equação como $- 2 x^{3} = 2$ .

$- 2 x^{3} = 2$

Etapa 2.5.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$- 2 x^{3} - 2 = 0$

Etapa 2.5.3

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.5.3.1

Fatore $- 2$ de $- 2 x^{3} - 2$ .

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Etapa 2.5.3.1.1

Fatore $- 2$ de $- 2 x^{3}$ .

$- 2 x^{3} - 2 = 0$

Etapa 2.5.3.1.2

Fatore $- 2$ de $- 2$ .

$- 2 x^{3} - 2 \cdot 1 = 0$

Etapa 2.5.3.1.3

Fatore $- 2$ de $- 2 (x^{3}) - 2 (1)$ .

$- 2 (x^{3} + 1) = 0$

Etapa 2.5.3.2

Reescreva $1$ como $1^{3}$ .

$- 2 (x^{3} + 1^{3}) = 0$

Etapa 2.5.3.3

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da soma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$- 2 ((x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2})) = 0$

Etapa 2.5.3.4

Fatore.

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Etapa 2.5.3.4.1

Simplifique.

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Etapa 2.5.3.4.1.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 2 ((x + 1) (x^{2} - x + 1^{2})) = 0$

Etapa 2.5.3.4.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$- 2 ((x + 1) (x^{2} - x + 1)) = 0$

Etapa 2.5.3.4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- 2 (x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$

Etapa 2.5.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

$x^{2} - x + 1 = 0$

Etapa 2.5.5

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.5.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 2.5.5.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 2.5.6

Defina $x^{2} - x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.6.1

Defina $x^{2} - x + 1$ como igual a $0$ .

$x^{2} - x + 1 = 0$

Etapa 2.5.6.2

Resolva $x^{2} - x + 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.5.6.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 2.5.6.2.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 1$ e $c = 1$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.6.2.3

Simplifique.

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Etapa 2.5.6.2.3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.5.6.2.3.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.6.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Etapa 2.5.6.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.6.2.3.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.6.2.3.1.3

Subtraia $4$ de $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.6.2.3.1.4

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.6.2.3.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.6.2.3.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.6.2.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 2.5.6.2.4

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

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Etapa 2.5.6.2.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.6.2.4.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.6.2.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Etapa 2.5.6.2.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.6.2.4.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.6.2.4.1.3

Subtraia $4$ de $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.6.2.4.1.4

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.6.2.4.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.6.2.4.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.6.2.4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 2.5.6.2.4.3

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 2.5.6.2.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

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Etapa 2.5.6.2.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.6.2.5.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.6.2.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Etapa 2.5.6.2.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.6.2.5.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.6.2.5.1.3

Subtraia $4$ de $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.6.2.5.1.4

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.6.2.5.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.6.2.5.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.6.2.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 2.5.6.2.5.3

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 2.5.6.2.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 2.5.7

A solução final são todos os valores que tornam $- 2 (x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = - 1, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

Defina o denominador em $\frac{2}{x^{3}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{3} = 0$

Etapa 3.2

Resolva $x$ .

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Etapa 3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Etapa 3.2.2

Simplifique $\sqrt[3]{0}$ .

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Etapa 3.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Etapa 3.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$x = 0$

Etapa 4

Avalie $2 x - \frac{1}{x^{2}}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = - 1$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $- 1$ por $x$ .

$2 (- 1) - \frac{1}{{(- 1)}^{2}}$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.2.1.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 - \frac{1}{{(- 1)}^{2}}$

Etapa 4.1.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$- 2 - \frac{1}{1}$

Etapa 4.1.2.1.3

Cancele o fator comum de $1$ .

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Etapa 4.1.2.1.3.1

Cancele o fator comum.

$- 2 - \frac{1}{1}$

Etapa 4.1.2.1.3.2

Reescreva a expressão.

$- 2 - 1 \cdot 1$

Etapa 4.1.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 2 - 1$

Etapa 4.1.2.2

Subtraia $1$ de $- 2$ .

$- 3$

Etapa 4.2

Avalie em $x = 0$ .

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Etapa 4.2.1

Substitua $0$ por $x$ .

$2 (0) - \frac{1}{{(0)}^{2}}$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

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Etapa 4.2.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$2 (0) - \frac{1}{0}$

Etapa 4.2.2.2

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 4.3

Liste todos os pontos.

$(- 1, - 3)$

Etapa 5