Cálculo Exemplos

$f (x) = 2 x {(8 - x)}^{3}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x {(8 - x)}^{3}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x {(8 - x)}^{3}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x {(8 - x)}^{3})$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(8 - x)}^{3}$ .

$f' (x) = 2 (x \frac{d}{d x} ({(8 - x)}^{3}) + {(8 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = 8 - x$ .

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Etapa 1.1.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $8 - x$ .

$f' (x) = 2 (x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (8 - x)) + {(8 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = 2 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (8 - x)) + {(8 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 1.1.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $8 - x$ .

$f' (x) = 2 (x (3 {(8 - x)}^{2} \frac{d}{d x} (8 - x)) + {(8 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 1.1.4

Diferencie.

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Etapa 1.1.4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $8 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = 2 (x (3 {(8 - x)}^{2} (\frac{d}{d x} (8) + \frac{d}{d x} (- x))) + {(8 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 1.1.4.2

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = 2 (x (3 {(8 - x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} (- x))) + {(8 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 1.1.4.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = 2 (x (3 {(8 - x)}^{2} \frac{d}{d x} (- x)) + {(8 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 1.1.4.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 2 (x (3 {(8 - x)}^{2} (- \frac{d}{d x} x)) + {(8 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 1.1.4.5

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f' (x) = 2 (x (- 3 {(8 - x)}^{2} \frac{d}{d x} x) + {(8 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 1.1.4.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 2 (x (- 3 {(8 - x)}^{2} \cdot 1) + {(8 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 1.1.4.7

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$f' (x) = 2 (x (- 3 {(8 - x)}^{2}) + {(8 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 1.1.4.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 2 (x (- 3 {(8 - x)}^{2}) + {(8 - x)}^{3} \cdot 1)$

Etapa 1.1.4.9

Multiplique ${(8 - x)}^{3}$ por $1$ .

$f' (x) = 2 (x (- 3 {(8 - x)}^{2}) + {(8 - x)}^{3})$

Etapa 1.1.5

Simplifique.

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Etapa 1.1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = 2 (x (- 3 {(8 - x)}^{2})) + 2 {(8 - x)}^{3}$

Etapa 1.1.5.2

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$f' (x) = - 6 (x ({(8 - x)}^{2})) + 2 {(8 - x)}^{3}$

Etapa 1.1.5.3

Fatore $2 {(8 - x)}^{2}$ de $- 6 x {(8 - x)}^{2} + 2 {(8 - x)}^{3}$ .

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Etapa 1.1.5.3.1

Fatore $2 {(8 - x)}^{2}$ de $- 6 x {(8 - x)}^{2}$ .

$f' (x) = 2 {(8 - x)}^{2} (- 3 x) + 2 {(8 - x)}^{3}$

Etapa 1.1.5.3.2

Fatore $2 {(8 - x)}^{2}$ de $2 {(8 - x)}^{3}$ .

$f' (x) = 2 {(8 - x)}^{2} (- 3 x) + 2 {(8 - x)}^{2} (8 - x)$

Etapa 1.1.5.3.3

Fatore $2 {(8 - x)}^{2}$ de $2 {(8 - x)}^{2} (- 3 x) + 2 {(8 - x)}^{2} (8 - x)$ .

$f' (x) = 2 {(8 - x)}^{2} (- 3 x + 8 - x)$

Etapa 1.1.5.4

Subtraia $x$ de $- 3 x$ .

$f' (x) = 2 {(8 - x)}^{2} (- 4 x + 8)$

Etapa 1.1.5.5

Reescreva ${(8 - x)}^{2}$ como $(8 - x) (8 - x)$ .

$f' (x) = 2 ((8 - x) (8 - x)) (- 4 x + 8)$

Etapa 1.1.5.6

Expanda $(8 - x) (8 - x)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.1.5.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = 2 (8 (8 - x) - x (8 - x)) (- 4 x + 8)$

Etapa 1.1.5.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = 2 (8 \cdot 8 + 8 (- x) - x (8 - x)) (- 4 x + 8)$

Etapa 1.1.5.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = 2 (8 \cdot 8 + 8 (- x) - x \cdot 8 - x (- x)) (- 4 x + 8)$

Etapa 1.1.5.7

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.1.5.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.5.7.1.1

Multiplique $8$ por $8$ .

$f' (x) = 2 (64 + 8 (- x) - x \cdot 8 - x (- x)) (- 4 x + 8)$

Etapa 1.1.5.7.1.2

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$f' (x) = 2 (64 - 8 x - x \cdot 8 - x (- x)) (- 4 x + 8)$

Etapa 1.1.5.7.1.3

Multiplique $8$ por $- 1$ .

$f' (x) = 2 (64 - 8 x - 8 x - x (- x)) (- 4 x + 8)$

Etapa 1.1.5.7.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f' (x) = 2 (64 - 8 x - 8 x - 1 \cdot (- 1 x \cdot x)) (- 4 x + 8)$

Etapa 1.1.5.7.1.5

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.1.5.7.1.5.1

Mova $x$ .

$f' (x) = 2 (64 - 8 x - 8 x - 1 \cdot (- 1 (x \cdot x))) (- 4 x + 8)$

Etapa 1.1.5.7.1.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f' (x) = 2 (64 - 8 x - 8 x - 1 \cdot (- 1 x^{2})) (- 4 x + 8)$

Etapa 1.1.5.7.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f' (x) = 2 (64 - 8 x - 8 x + 1 x^{2}) (- 4 x + 8)$

Etapa 1.1.5.7.1.7

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$f' (x) = 2 (64 - 8 x - 8 x + x^{2}) (- 4 x + 8)$

Etapa 1.1.5.7.2

Subtraia $8 x$ de $- 8 x$ .

$f' (x) = 2 (64 - 16 x + x^{2}) (- 4 x + 8)$

Etapa 1.1.5.8

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = (2 \cdot 64 + 2 (- 16 x) + 2 x^{2}) (- 4 x + 8)$

Etapa 1.1.5.9

Simplifique.

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Etapa 1.1.5.9.1

Multiplique $2$ por $64$ .

$f' (x) = (128 + 2 (- 16 x) + 2 x^{2}) (- 4 x + 8)$

Etapa 1.1.5.9.2

Multiplique $- 16$ por $2$ .

$f' (x) = (128 - 32 x + 2 x^{2}) (- 4 x + 8)$

Etapa 1.1.5.10

Expanda $(128 - 32 x + 2 x^{2}) (- 4 x + 8)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$f' (x) = 128 (- 4 x) + 128 \cdot 8 - 32 x (- 4 x) - 32 x \cdot 8 + 2 x^{2} (- 4 x) + 2 x^{2} \cdot 8$

Etapa 1.1.5.11

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.5.11.1

Multiplique $- 4$ por $128$ .

$f' (x) = - 512 x + 128 \cdot 8 - 32 x (- 4 x) - 32 x \cdot 8 + 2 x^{2} (- 4 x) + 2 x^{2} \cdot 8$

Etapa 1.1.5.11.2

Multiplique $128$ por $8$ .

$f' (x) = - 512 x + 1024 - 32 x (- 4 x) - 32 x \cdot 8 + 2 x^{2} (- 4 x) + 2 x^{2} \cdot 8$

Etapa 1.1.5.11.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f' (x) = - 512 x + 1024 - 32 \cdot (- 4 x \cdot x) - 32 x \cdot 8 + 2 x^{2} (- 4 x) + 2 x^{2} \cdot 8$

Etapa 1.1.5.11.4

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.1.5.11.4.1

Mova $x$ .

$f' (x) = - 512 x + 1024 - 32 \cdot (- 4 (x \cdot x)) - 32 x \cdot 8 + 2 x^{2} (- 4 x) + 2 x^{2} \cdot 8$

Etapa 1.1.5.11.4.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f' (x) = - 512 x + 1024 - 32 \cdot (- 4 x^{2}) - 32 x \cdot 8 + 2 x^{2} (- 4 x) + 2 x^{2} \cdot 8$

Etapa 1.1.5.11.5

Multiplique $- 32$ por $- 4$ .

$f' (x) = - 512 x + 1024 + 128 x^{2} - 32 x \cdot 8 + 2 x^{2} (- 4 x) + 2 x^{2} \cdot 8$

Etapa 1.1.5.11.6

Multiplique $8$ por $- 32$ .

$f' (x) = - 512 x + 1024 + 128 x^{2} - 256 x + 2 x^{2} (- 4 x) + 2 x^{2} \cdot 8$

Etapa 1.1.5.11.7

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f' (x) = - 512 x + 1024 + 128 x^{2} - 256 x + 2 \cdot (- 4 x^{2} x) + 2 x^{2} \cdot 8$

Etapa 1.1.5.11.8

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.1.5.11.8.1

Mova $x$ .

$f' (x) = - 512 x + 1024 + 128 x^{2} - 256 x + 2 \cdot (- 4 (x \cdot x^{2})) + 2 x^{2} \cdot 8$

Etapa 1.1.5.11.8.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 1.1.5.11.8.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = - 512 x + 1024 + 128 x^{2} - 256 x + 2 \cdot (- 4 (x \cdot x^{2})) + 2 x^{2} \cdot 8$

Etapa 1.1.5.11.8.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = - 512 x + 1024 + 128 x^{2} - 256 x + 2 \cdot (- 4 x^{1 + 2}) + 2 x^{2} \cdot 8$

Etapa 1.1.5.11.8.3

Some $1$ e $2$ .

$f' (x) = - 512 x + 1024 + 128 x^{2} - 256 x + 2 \cdot (- 4 x^{3}) + 2 x^{2} \cdot 8$

Etapa 1.1.5.11.9

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$f' (x) = - 512 x + 1024 + 128 x^{2} - 256 x - 8 x^{3} + 2 x^{2} \cdot 8$

Etapa 1.1.5.11.10

Multiplique $8$ por $2$ .

$f' (x) = - 512 x + 1024 + 128 x^{2} - 256 x - 8 x^{3} + 16 x^{2}$

Etapa 1.1.5.12

Subtraia $256 x$ de $- 512 x$ .

$f' (x) = - 768 x + 1024 + 128 x^{2} - 8 x^{3} + 16 x^{2}$

Etapa 1.1.5.13

Some $128 x^{2}$ e $16 x^{2}$ .

$f' (x) = - 768 x + 1024 - 8 x^{3} + 144 x^{2}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 768 x + 1024 - 8 x^{3} + 144 x^{2}$ .

$- 768 x + 1024 - 8 x^{3} + 144 x^{2}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 768 x + 1024 - 8 x^{3} + 144 x^{2} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- 768 x + 1024 - 8 x^{3} + 144 x^{2} = 0$

Etapa 2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.2.1

Fatore $8$ de $- 768 x + 1024 - 8 x^{3} + 144 x^{2}$ .

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Etapa 2.2.1.1

Fatore $8$ de $- 768 x$ .

$8 (- 96 x) + 1024 - 8 x^{3} + 144 x^{2} = 0$

Etapa 2.2.1.2

Fatore $8$ de $1024$ .

$8 (- 96 x) + 8 (128) - 8 x^{3} + 144 x^{2} = 0$

Etapa 2.2.1.3

Fatore $8$ de $- 8 x^{3}$ .

$8 (- 96 x) + 8 (128) + 8 (- x^{3}) + 144 x^{2} = 0$

Etapa 2.2.1.4

Fatore $8$ de $144 x^{2}$ .

$8 (- 96 x) + 8 (128) + 8 (- x^{3}) + 8 (18 x^{2}) = 0$

Etapa 2.2.1.5

Fatore $8$ de $8 (- 96 x) + 8 (128)$ .

$8 (- 96 x + 128) + 8 (- x^{3}) + 8 (18 x^{2}) = 0$

Etapa 2.2.1.6

Fatore $8$ de $8 (- 96 x + 128) + 8 (- x^{3})$ .

$8 (- 96 x + 128 - x^{3}) + 8 (18 x^{2}) = 0$

Etapa 2.2.1.7

Fatore $8$ de $8 (- 96 x + 128 - x^{3}) + 8 (18 x^{2})$ .

$8 (- 96 x + 128 - x^{3} + 18 x^{2}) = 0$

Etapa 2.2.2

Reordene os termos.

$8 (- x^{3} + 18 x^{2} - 96 x + 128) = 0$

Etapa 2.2.3

Fatore.

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Etapa 2.2.3.1

Fatore $- x^{3} + 18 x^{2} - 96 x + 128$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 2.2.3.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 128, \pm 2, \pm 64, \pm 4, \pm 32, \pm 8, \pm 16$

$q = \pm 1$

Etapa 2.2.3.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 128, \pm 2, \pm 64, \pm 4, \pm 32, \pm 8, \pm 16$

Etapa 2.2.3.1.3

Substitua $2$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $2$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 2.2.3.1.3.1

Substitua $2$ no polinômio.

$- 2^{3} + 18 \cdot 2^{2} - 96 \cdot 2 + 128$

Etapa 2.2.3.1.3.2

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$- 1 \cdot 8 + 18 \cdot 2^{2} - 96 \cdot 2 + 128$

Etapa 2.2.3.1.3.3

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$- 8 + 18 \cdot 2^{2} - 96 \cdot 2 + 128$

Etapa 2.2.3.1.3.4

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$- 8 + 18 \cdot 4 - 96 \cdot 2 + 128$

Etapa 2.2.3.1.3.5

Multiplique $18$ por $4$ .

$- 8 + 72 - 96 \cdot 2 + 128$

Etapa 2.2.3.1.3.6

Some $- 8$ e $72$ .

$64 - 96 \cdot 2 + 128$

Etapa 2.2.3.1.3.7

Multiplique $- 96$ por $2$ .

$64 - 192 + 128$

Etapa 2.2.3.1.3.8

Subtraia $192$ de $64$ .

$- 128 + 128$

Etapa 2.2.3.1.3.9

Some $- 128$ e $128$ .

$0$

Etapa 2.2.3.1.4

Como $2$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 2$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{- x^{3} + 18 x^{2} - 96 x + 128}{x - 2}$

Etapa 2.2.3.1.5

Divida $- x^{3} + 18 x^{2} - 96 x + 128$ por $x - 2$ .

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Etapa 2.2.3.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$18 x^{2}$

$96 x$

$128$

Etapa 2.2.3.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	-	$2$	-	$x^{3}$	+	$18 x^{2}$	-	$96 x$	+	$128$

Etapa 2.2.3.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$x^{3}$	+	$18 x^{2}$	-	$96 x$	+	$128$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Etapa 2.2.3.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- x^{3} + 2 x^{2}$ .

			-	$x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$x^{3}$	+	$18 x^{2}$	-	$96 x$	+	$128$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Etapa 2.2.3.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$x^{3}$	+	$18 x^{2}$	-	$96 x$	+	$128$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$16 x^{2}$

Etapa 2.2.3.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$x^{3}$	+	$18 x^{2}$	-	$96 x$	+	$128$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	-	$96 x$

Etapa 2.2.3.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $16 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$16 x$
$x$	-	$2$	-	$x^{3}$	+	$18 x^{2}$	-	$96 x$	+	$128$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	-	$96 x$

Etapa 2.2.3.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$x^{2}$	+	$16 x$
$x$	-	$2$	-	$x^{3}$	+	$18 x^{2}$	-	$96 x$	+	$128$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	-	$96 x$
					+	$16 x^{2}$	-	$32 x$

Etapa 2.2.3.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $16 x^{2} - 32 x$ .

			-	$x^{2}$	+	$16 x$
$x$	-	$2$	-	$x^{3}$	+	$18 x^{2}$	-	$96 x$	+	$128$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	-	$96 x$
					-	$16 x^{2}$	+	$32 x$

Etapa 2.2.3.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$x^{2}$	+	$16 x$
$x$	-	$2$	-	$x^{3}$	+	$18 x^{2}$	-	$96 x$	+	$128$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	-	$96 x$
					-	$16 x^{2}$	+	$32 x$
							-	$64 x$

Etapa 2.2.3.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

			-	$x^{2}$	+	$16 x$
$x$	-	$2$	-	$x^{3}$	+	$18 x^{2}$	-	$96 x$	+	$128$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	-	$96 x$
					-	$16 x^{2}$	+	$32 x$
							-	$64 x$	+	$128$

Etapa 2.2.3.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 64 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$16 x$	-	$64$
$x$	-	$2$	-	$x^{3}$	+	$18 x^{2}$	-	$96 x$	+	$128$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	-	$96 x$
					-	$16 x^{2}$	+	$32 x$
							-	$64 x$	+	$128$

Etapa 2.2.3.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$x^{2}$	+	$16 x$	-	$64$
$x$	-	$2$	-	$x^{3}$	+	$18 x^{2}$	-	$96 x$	+	$128$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	-	$96 x$
					-	$16 x^{2}$	+	$32 x$
							-	$64 x$	+	$128$
							-	$64 x$	+	$128$

Etapa 2.2.3.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 64 x + 128$ .

			-	$x^{2}$	+	$16 x$	-	$64$
$x$	-	$2$	-	$x^{3}$	+	$18 x^{2}$	-	$96 x$	+	$128$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	-	$96 x$
					-	$16 x^{2}$	+	$32 x$
							-	$64 x$	+	$128$
							+	$64 x$	-	$128$

Etapa 2.2.3.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$x^{2}$	+	$16 x$	-	$64$
$x$	-	$2$	-	$x^{3}$	+	$18 x^{2}$	-	$96 x$	+	$128$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	-	$96 x$
					-	$16 x^{2}$	+	$32 x$
							-	$64 x$	+	$128$
							+	$64 x$	-	$128$
										$0$

Etapa 2.2.3.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$- x^{2} + 16 x - 64$

Etapa 2.2.3.1.6

Escreva $- x^{3} + 18 x^{2} - 96 x + 128$ como um conjunto de fatores.

$8 ((x - 2) (- x^{2} + 16 x - 64)) = 0$

Etapa 2.2.3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$8 (x - 2) (- x^{2} + 16 x - 64) = 0$

Etapa 2.2.4

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot - 64 = 64$ e cuja soma é $b = 16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1.1.1

Fatore $16$ de $16 x$ .

$8 (x - 2) (- x^{2} + 16 (x) - 64) = 0$

Etapa 2.2.4.1.1.2

Reescreva $16$ como $8$ mais $8$

$8 (x - 2) (- x^{2} + (8 + 8) x - 64) = 0$

Etapa 2.2.4.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$8 (x - 2) (- x^{2} + 8 x + 8 x - 64) = 0$

Etapa 2.2.4.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 2.2.4.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$8 (x - 2) ((- x^{2} + 8 x) + 8 x - 64) = 0$

Etapa 2.2.4.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$8 (x - 2) (x (- x + 8) - 8 (- x + 8)) = 0$

Etapa 2.2.4.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- x + 8$ .

$8 (x - 2) ((- x + 8) (x - 8)) = 0$

Etapa 2.2.4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$8 (x - 2) (- x + 8) (x - 8) = 0$

Etapa 2.2.5

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.1

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$8 (x - 2) (- (x) + 8) (x - 8) = 0$

Etapa 2.2.5.2

Reescreva $8$ como $- 1 (- 8)$ .

$8 (x - 2) (- (x) - 1 \cdot - 8) (x - 8) = 0$

Etapa 2.2.5.3

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (- 8)$ .

$8 (x - 2) (- (x - 8)) (x - 8) = 0$

Etapa 2.2.5.4

Reescreva $- (x - 8)$ como $- 1 (x - 8)$ .

$8 (x - 2) (- 1 (x - 8)) (x - 8) = 0$

Etapa 2.2.5.5

Remova os parênteses.

$8 (x - 2) \cdot (- 1 (x - 8) (x - 8)) = 0$

Etapa 2.2.5.6

Eleve $x - 8$ à potência de $1$ .

$8 (x - 2) \cdot (- 1 ((x - 8) (x - 8))) = 0$

Etapa 2.2.5.7

Eleve $x - 8$ à potência de $1$ .

$8 (x - 2) \cdot (- 1 ((x - 8) (x - 8))) = 0$

Etapa 2.2.5.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$8 (x - 2) \cdot (- 1 {(x - 8)}^{1 + 1}) = 0$

Etapa 2.2.5.9

Some $1$ e $1$ .

$8 (x - 2) \cdot (- 1 {(x - 8)}^{2}) = 0$

Etapa 2.2.5.10

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$- 8 (x - 2) {(x - 8)}^{2} = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

${(x - 8)}^{2} = 0$

Etapa 2.4

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 2.4.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 2.5

Defina ${(x - 8)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina ${(x - 8)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x - 8)}^{2} = 0$

Etapa 2.5.2

Resolva ${(x - 8)}^{2} = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.5.2.1

Defina $x - 8$ como igual a $0$ .

$x - 8 = 0$

Etapa 2.5.2.2

Some $8$ aos dois lados da equação.

$x = 8$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $- 8 (x - 2) {(x - 8)}^{2} = 0$ verdadeiro.

$x = 2, 8$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 4

Avalie $2 x {(8 - x)}^{3}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = 2$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $2$ por $x$ .

$2 (2) {(8 - (2))}^{3}$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 {(8 - (2))}^{3}$

Etapa 4.1.2.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$4 {(8 - 2)}^{3}$

Etapa 4.1.2.3

Subtraia $2$ de $8$ .

$4 \cdot 6^{3}$

Etapa 4.1.2.4

Eleve $6$ à potência de $3$ .

$4 \cdot 216$

Etapa 4.1.2.5

Multiplique $4$ por $216$ .

$864$

Etapa 4.2

Avalie em $x = 8$ .

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Etapa 4.2.1

Substitua $8$ por $x$ .

$2 (8) {(8 - (8))}^{3}$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

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Etapa 4.2.2.1

Multiplique $2$ por $8$ .

$16 {(8 - (8))}^{3}$

Etapa 4.2.2.2

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$16 {(8 - 8)}^{3}$

Etapa 4.2.2.3

Subtraia $8$ de $8$ .

$16 \cdot 0^{3}$

Etapa 4.2.2.4

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$16 \cdot 0$

Etapa 4.2.2.5

Multiplique $16$ por $0$ .

$0$

Etapa 4.3

Liste todos os pontos.

$(2, 864), (8, 0)$

Etapa 5