Cálculo Exemplos

$f (x) = 2 x^{3} - x^{2} - 4 x + 10$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{3} - x^{2} - 4 x + 10$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (10)$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{3}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (10)$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (10)$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (10)$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (10)$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (10)$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (10)$

Etapa 1.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 2 x - 4 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (10)$

Etapa 1.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (10)$

Etapa 1.1.4.3

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 2 x - 4 + \frac{d}{d x} (10)$

Etapa 1.1.5

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.1

Como $10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $10$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 2 x - 4 + 0$

Etapa 1.1.5.2

Some $6 x^{2} - 2 x - 4$ e $0$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 2 x - 4$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $6 x^{2} - 2 x - 4$ .

$6 x^{2} - 2 x - 4$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $6 x^{2} - 2 x - 4 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$6 x^{2} - 2 x - 4 = 0$

Etapa 2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Fatore $2$ de $6 x^{2} - 2 x - 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Fatore $2$ de $6 x^{2}$ .

$2 (3 x^{2}) - 2 x - 4 = 0$

Etapa 2.2.1.2

Fatore $2$ de $- 2 x$ .

$2 (3 x^{2}) + 2 (- x) - 4 = 0$

Etapa 2.2.1.3

Fatore $2$ de $- 4$ .

$2 (3 x^{2}) + 2 (- x) + 2 (- 2) = 0$

Etapa 2.2.1.4

Fatore $2$ de $2 (3 x^{2}) + 2 (- x)$ .

$2 (3 x^{2} - x) + 2 (- 2) = 0$

Etapa 2.2.1.5

Fatore $2$ de $2 (3 x^{2} - x) + 2 (- 2)$ .

$2 (3 x^{2} - x - 2) = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 3 \cdot - 2 = - 6$ e cuja soma é $b = - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1.1

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$2 (3 x^{2} - (x) - 2) = 0$

Etapa 2.2.2.1.1.2

Reescreva $- 1$ como $2$ mais $- 3$

$2 (3 x^{2} + (2 - 3) x - 2) = 0$

Etapa 2.2.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (3 x^{2} + 2 x - 3 x - 2) = 0$

Etapa 2.2.2.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$2 ((3 x^{2} + 2 x) - 3 x - 2) = 0$

Etapa 2.2.2.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$2 (x (3 x + 2) - (3 x + 2)) = 0$

Etapa 2.2.2.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $3 x + 2$ .

$2 ((3 x + 2) (x - 1)) = 0$

Etapa 2.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$2 (3 x + 2) (x - 1) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$3 x + 2 = 0$

$x - 1 = 0$

Etapa 2.4

Defina $3 x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Defina $3 x + 2$ como igual a $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Etapa 2.4.2

Resolva $3 x + 2 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$3 x = - 2$

Etapa 2.4.2.2

Divida cada termo em $3 x = - 2$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.1

Divida cada termo em $3 x = - 2$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Etapa 2.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Etapa 2.4.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Etapa 2.4.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{2}{3}$

Etapa 2.5

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 2.5.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $2 (3 x + 2) (x - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = - \frac{2}{3}, 1$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 4

Avalie $2 x^{3} - x^{2} - 4 x + 10$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Avalie em $x = - \frac{2}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua $- \frac{2}{3}$ por $x$ .

$2 {(- \frac{2}{3})}^{3} - {(- \frac{2}{3})}^{2} - 4 (- \frac{2}{3}) + 10$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{2}{3}$ .

$2 ({(- 1)}^{3} {(\frac{2}{3})}^{3}) - {(- \frac{2}{3})}^{2} - 4 (- \frac{2}{3}) + 10$

Etapa 4.1.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{2}{3}$ .

$2 ({(- 1)}^{3} \frac{2^{3}}{3^{3}}) - {(- \frac{2}{3})}^{2} - 4 (- \frac{2}{3}) + 10$

Etapa 4.1.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$2 (- \frac{2^{3}}{3^{3}}) - {(- \frac{2}{3})}^{2} - 4 (- \frac{2}{3}) + 10$

Etapa 4.1.2.1.3

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$2 (- \frac{8}{3^{3}}) - {(- \frac{2}{3})}^{2} - 4 (- \frac{2}{3}) + 10$

Etapa 4.1.2.1.4

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$2 (- \frac{8}{27}) - {(- \frac{2}{3})}^{2} - 4 (- \frac{2}{3}) + 10$

Etapa 4.1.2.1.5

Multiplique $2 (- \frac{8}{27})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.5.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 (\frac{8}{27}) - {(- \frac{2}{3})}^{2} - 4 (- \frac{2}{3}) + 10$

Etapa 4.1.2.1.5.2

Combine $- 2$ e $\frac{8}{27}$ .

$\frac{- 2 \cdot 8}{27} - {(- \frac{2}{3})}^{2} - 4 (- \frac{2}{3}) + 10$

Etapa 4.1.2.1.5.3

Multiplique $- 2$ por $8$ .

$\frac{- 16}{27} - {(- \frac{2}{3})}^{2} - 4 (- \frac{2}{3}) + 10$

Etapa 4.1.2.1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{16}{27} - {(- \frac{2}{3})}^{2} - 4 (- \frac{2}{3}) + 10$

Etapa 4.1.2.1.7

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.7.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{2}{3}$ .

$- \frac{16}{27} - ({(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2}) - 4 (- \frac{2}{3}) + 10$

Etapa 4.1.2.1.7.2

Aplique a regra do produto a $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{16}{27} - ({(- 1)}^{2} \frac{2^{2}}{3^{2}}) - 4 (- \frac{2}{3}) + 10$

Etapa 4.1.2.1.8

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.8.1

Mova ${(- 1)}^{2}$ .

$- \frac{16}{27} + {(- 1)}^{2} \cdot - 1 \frac{2^{2}}{3^{2}} - 4 (- \frac{2}{3}) + 10$

Etapa 4.1.2.1.8.2

Multiplique ${(- 1)}^{2}$ por $- 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.8.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $1$ .

$- \frac{16}{27} + {(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{2^{2}}{3^{2}} - 4 (- \frac{2}{3}) + 10$

Etapa 4.1.2.1.8.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{16}{27} + {(- 1)}^{2 + 1} \frac{2^{2}}{3^{2}} - 4 (- \frac{2}{3}) + 10$

Etapa 4.1.2.1.8.3

Some $2$ e $1$ .

$- \frac{16}{27} + {(- 1)}^{3} \frac{2^{2}}{3^{2}} - 4 (- \frac{2}{3}) + 10$

Etapa 4.1.2.1.9

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$- \frac{16}{27} - \frac{2^{2}}{3^{2}} - 4 (- \frac{2}{3}) + 10$

Etapa 4.1.2.1.10

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$- \frac{16}{27} - \frac{4}{3^{2}} - 4 (- \frac{2}{3}) + 10$

Etapa 4.1.2.1.11

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$- \frac{16}{27} - \frac{4}{9} - 4 (- \frac{2}{3}) + 10$

Etapa 4.1.2.1.12

Multiplique $- 4 (- \frac{2}{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.12.1

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$- \frac{16}{27} - \frac{4}{9} + 4 (\frac{2}{3}) + 10$

Etapa 4.1.2.1.12.2

Combine $4$ e $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{16}{27} - \frac{4}{9} + \frac{4 \cdot 2}{3} + 10$

Etapa 4.1.2.1.12.3

Multiplique $4$ por $2$ .

$- \frac{16}{27} - \frac{4}{9} + \frac{8}{3} + 10$

Etapa 4.1.2.2

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.2.1

Multiplique $\frac{4}{9}$ por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{16}{27} - (\frac{4}{9} \cdot \frac{3}{3}) + \frac{8}{3} + 10$

Etapa 4.1.2.2.2

Multiplique $\frac{4}{9}$ por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{16}{27} - \frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{8}{3} + 10$

Etapa 4.1.2.2.3

Multiplique $\frac{8}{3}$ por $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{16}{27} - \frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{8}{3} \cdot \frac{9}{9} + 10$

Etapa 4.1.2.2.4

Multiplique $\frac{8}{3}$ por $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{16}{27} - \frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{8 \cdot 9}{3 \cdot 9} + 10$

Etapa 4.1.2.2.5

Escreva $10$ como uma fração com denominador $1$ .

$- \frac{16}{27} - \frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{8 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{10}{1}$

Etapa 4.1.2.2.6

Multiplique $\frac{10}{1}$ por $\frac{27}{27}$ .

$- \frac{16}{27} - \frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{8 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{10}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Etapa 4.1.2.2.7

Multiplique $\frac{10}{1}$ por $\frac{27}{27}$ .

$- \frac{16}{27} - \frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{8 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{10 \cdot 27}{27}$

Etapa 4.1.2.2.8

Reordene os fatores de $9 \cdot 3$ .

$- \frac{16}{27} - \frac{4 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{8 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{10 \cdot 27}{27}$

Etapa 4.1.2.2.9

Multiplique $3$ por $9$ .

$- \frac{16}{27} - \frac{4 \cdot 3}{27} + \frac{8 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{10 \cdot 27}{27}$

Etapa 4.1.2.2.10

Multiplique $3$ por $9$ .

$- \frac{16}{27} - \frac{4 \cdot 3}{27} + \frac{8 \cdot 9}{27} + \frac{10 \cdot 27}{27}$

Etapa 4.1.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 16 - 4 \cdot 3 + 8 \cdot 9 + 10 \cdot 27}{27}$

Etapa 4.1.2.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.4.1

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$\frac{- 16 - 12 + 8 \cdot 9 + 10 \cdot 27}{27}$

Etapa 4.1.2.4.2

Multiplique $8$ por $9$ .

$\frac{- 16 - 12 + 72 + 10 \cdot 27}{27}$

Etapa 4.1.2.4.3

Multiplique $10$ por $27$ .

$\frac{- 16 - 12 + 72 + 270}{27}$

Etapa 4.1.2.5

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.5.1

Subtraia $12$ de $- 16$ .

$\frac{- 28 + 72 + 270}{27}$

Etapa 4.1.2.5.2

Some $- 28$ e $72$ .

$\frac{44 + 270}{27}$

Etapa 4.1.2.5.3

Some $44$ e $270$ .

$\frac{314}{27}$

Etapa 4.2

Avalie em $x = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Substitua $1$ por $x$ .

$2 {(1)}^{3} - {(1)}^{2} - 4 \cdot 1 + 10$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$2 \cdot 1 - {(1)}^{2} - 4 \cdot 1 + 10$

Etapa 4.2.2.1.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 - {(1)}^{2} - 4 \cdot 1 + 10$

Etapa 4.2.2.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$2 - 1 \cdot 1 - 4 \cdot 1 + 10$

Etapa 4.2.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$2 - 1 - 4 \cdot 1 + 10$

Etapa 4.2.2.1.5

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$2 - 1 - 4 + 10$

Etapa 4.2.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.2.1

Subtraia $1$ de $2$ .

$1 - 4 + 10$

Etapa 4.2.2.2.2

Subtraia $4$ de $1$ .

$- 3 + 10$

Etapa 4.2.2.2.3

Some $- 3$ e $10$ .

$7$

Etapa 4.3

Liste todos os pontos.

$(- \frac{2}{3}, \frac{314}{27}), (1, 7)$

Etapa 5