Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{4} - 8 x^{2} + 16$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Diferencie.

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Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - 8 x^{2} + 16$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 x^{3} - 8 (2 x) + \frac{d}{d x} [16]$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $2$ por $- 8$ .

$4 x^{3} - 16 x + \frac{d}{d x} [16]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.3.1

Como $16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $16$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 x^{3} - 16 x + 0$

Etapa 1.1.3.2

Some $4 x^{3} - 16 x$ e $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 16 x$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $4 x^{3} - 16 x$ .

$4 x^{3} - 16 x$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $4 x^{3} - 16 x = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$4 x^{3} - 16 x = 0$

Etapa 2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.2.1

Fatore $4 x$ de $4 x^{3} - 16 x$ .

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Etapa 2.2.1.1

Fatore $4 x$ de $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 16 x = 0$

Etapa 2.2.1.2

Fatore $4 x$ de $- 16 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 4) = 0$

Etapa 2.2.1.3

Fatore $4 x$ de $4 x (x^{2}) + 4 x (- 4)$ .

$4 x (x^{2} - 4) = 0$

Etapa 2.2.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$4 x (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Etapa 2.2.3

Fatore.

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Etapa 2.2.3.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$4 x ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Etapa 2.2.3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$4 x (x + 2) (x - 2) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Etapa 2.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.5

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 2.5.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 2.6

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.6.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 2.6.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 2.7

A solução final são todos os valores que tornam $4 x (x + 2) (x - 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 2, 2$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 4

Avalie $x^{4} - 8 x^{2} + 16$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = 0$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

${(0)}^{4} - 8 {(0)}^{2} + 16$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 - 8 {(0)}^{2} + 16$

Etapa 4.1.2.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 - 8 \cdot 0 + 16$

Etapa 4.1.2.1.3

Multiplique $- 8$ por $0$ .

$0 + 0 + 16$

Etapa 4.1.2.2

Simplifique somando os números.

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Etapa 4.1.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$0 + 16$

Etapa 4.1.2.2.2

Some $0$ e $16$ .

$16$

Etapa 4.2

Avalie em $x = - 2$ .

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Etapa 4.2.1

Substitua $- 2$ por $x$ .

${(- 2)}^{4} - 8 {(- 2)}^{2} + 16$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

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Etapa 4.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.2.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $4$ .

$16 - 8 {(- 2)}^{2} + 16$

Etapa 4.2.2.1.2

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$16 - 8 \cdot 4 + 16$

Etapa 4.2.2.1.3

Multiplique $- 8$ por $4$ .

$16 - 32 + 16$

Etapa 4.2.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 4.2.2.2.1

Subtraia $32$ de $16$ .

$- 16 + 16$

Etapa 4.2.2.2.2

Some $- 16$ e $16$ .

$0$

Etapa 4.3

Avalie em $x = 2$ .

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Etapa 4.3.1

Substitua $2$ por $x$ .

${(2)}^{4} - 8 {(2)}^{2} + 16$

Etapa 4.3.2

Simplifique.

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Etapa 4.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$16 - 8 {(2)}^{2} + 16$

Etapa 4.3.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$16 - 8 \cdot 4 + 16$

Etapa 4.3.2.1.3

Multiplique $- 8$ por $4$ .

$16 - 32 + 16$

Etapa 4.3.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 4.3.2.2.1

Subtraia $32$ de $16$ .

$- 16 + 16$

Etapa 4.3.2.2.2

Some $- 16$ e $16$ .

$0$

Etapa 4.4

Liste todos os pontos.

$(0, 16), (- 2, 0), (2, 0)$

Etapa 5