Cálculo Exemplos

$f (x) = 0.002 x^{3} + 8 x + 7086$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $0.002 x^{3} + 8 x + 7086$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [0.002 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [7086]$ .

$\frac{d}{d x} [0.002 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [7086]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [0.002 x^{3}]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Como $0.002$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $0.002 x^{3}$ em relação a $x$ é $0.002 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0.002 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [7086]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$0.002 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [7086]$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $3$ por $0.002$ .

$0.006 x^{2} + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [7086]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0.006 x^{2} + 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7086]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0.006 x^{2} + 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7086]$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $8$ por $1$ .

$0.006 x^{2} + 8 + \frac{d}{d x} [7086]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.4.1

Como $7086$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7086$ em relação a $x$ é $0$ .

$0.006 x^{2} + 8 + 0$

Etapa 1.1.4.2

Some $0.006 x^{2} + 8$ e $0$ .

$f' (x) = 0.006 x^{2} + 8$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $0.006 x^{2} + 8$ .

$0.006 x^{2} + 8$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $0.006 x^{2} + 8 = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$0.006 x^{2} + 8 = 0$

Etapa 2.2

Subtraia $8$ dos dois lados da equação.

$0.006 x^{2} = - 8$

Etapa 2.3

Divida cada termo em $0.006 x^{2} = - 8$ por $0.006$ e simplifique.

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Etapa 2.3.1

Divida cada termo em $0.006 x^{2} = - 8$ por $0.006$ .

$\frac{0.006 x^{2}}{0.006} = \frac{- 8}{0.006}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.2.1

Cancele o fator comum de $0.006$ .

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Etapa 2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{0.006 x^{2}}{0.006} = \frac{- 8}{0.006}$

Etapa 2.3.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 8}{0.006}$

Etapa 2.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.3.1

Divida $- 8$ por $0.006$ .

$x^{2} = - 1333.\overline{3}$

Etapa 2.4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{- 1333.\overline{3}}$

Etapa 2.5

Simplifique $\pm \sqrt{- 1333.\overline{3}}$ .

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Etapa 2.5.1

Reescreva $- 1333.\overline{3}$ como $- 1 (1333.\overline{3})$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (1333.\overline{3})}$

Etapa 2.5.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (1333.\overline{3})}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1333.\overline{3}}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1333.\overline{3}}$

Etapa 2.5.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \sqrt{1333.\overline{3}}$

Etapa 2.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 2.6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = i \sqrt{1333.\overline{3}}$

Etapa 2.6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - i \sqrt{1333.\overline{3}}$

Etapa 2.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = i \sqrt{1333.\overline{3}}, - i \sqrt{1333.\overline{3}}$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 4

Não há valores de $x$ no domínio do problema original, em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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