Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{y - 3}{y^{2} - 3 y + 9}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ é $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ , em que $f (y) = y - 3$ e $g (y) = y^{2} - 3 y + 9$ .

$f' (y) = \frac{(y^{2} - 3 y + 9) \frac{d}{d y} (y - 3) - (y - 3) \frac{d}{d y} (y^{2} - 3 y + 9)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y - 3$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]$ .

$f' (y) = \frac{(y^{2} - 3 y + 9) (\frac{d}{d y} (y) + \frac{d}{d y} (- 3)) - (y - 3) \frac{d}{d y} (y^{2} - 3 y + 9)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (y) = \frac{(y^{2} - 3 y + 9) (1 + \frac{d}{d y} (- 3)) - (y - 3) \frac{d}{d y} (y^{2} - 3 y + 9)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.3

Como $- 3$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 3$ em relação a $y$ é $0$ .

$f' (y) = \frac{(y^{2} - 3 y + 9) (1 + 0) - (y - 3) \frac{d}{d y} (y^{2} - 3 y + 9)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.2.4.1

Some $1$ e $0$ .

$f' (y) = \frac{(y^{2} - 3 y + 9) \cdot 1 - (y - 3) \frac{d}{d y} (y^{2} - 3 y + 9)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.4.2

Multiplique $y^{2} - 3 y + 9$ por $1$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - (y - 3) \frac{d}{d y} (y^{2} - 3 y + 9)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{2} - 3 y + 9$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3 y] + \frac{d}{d y} [9]$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - (y - 3) (\frac{d}{d y} (y^{2}) + \frac{d}{d y} (- 3 y) + \frac{d}{d y} (9))}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - (y - 3) (2 y + \frac{d}{d y} (- 3 y) + \frac{d}{d y} (9))}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.7

Como $- 3$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 3 y$ em relação a $y$ é $- 3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - (y - 3) (2 y - 3 \frac{d}{d y} y + \frac{d}{d y} (9))}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - (y - 3) (2 y - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d y} (9))}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.9

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - (y - 3) (2 y - 3 + \frac{d}{d y} (9))}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.10

Como $9$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $9$ em relação a $y$ é $0$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - (y - 3) (2 y - 3 + 0)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.11

Some $2 y - 3$ e $0$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - (y - 3) (2 y - 3)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.3

Simplifique.

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Etapa 1.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 + (- y + 3) (2 y - 3)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 + (- y + 3) (2 y - 3)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2.1.2

Expanda $(- y + 3) (2 y - 3)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.1.3.2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - y (2 y - 3) + 3 (2 y - 3)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - y (2 y) - y \cdot - 3 + 3 (2 y - 3)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - y (2 y) - y \cdot - 3 + 3 (2 y) + 3 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.1.3.2.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.2.1.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - 1 \cdot (2 y \cdot y) - y \cdot - 3 + 3 (2 y) + 3 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2.1.3.1.2

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 1.1.3.2.1.3.1.2.1

Mova $y$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - 1 \cdot (2 (y \cdot y)) - y \cdot - 3 + 3 (2 y) + 3 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2.1.3.1.2.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - 1 \cdot (2 y^{2}) - y \cdot - 3 + 3 (2 y) + 3 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2.1.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - 2 y^{2} - y \cdot - 3 + 3 (2 y) + 3 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2.1.3.1.4

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - 2 y^{2} + 3 y + 3 (2 y) + 3 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2.1.3.1.5

Multiplique $2$ por $3$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - 2 y^{2} + 3 y + 6 y + 3 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2.1.3.1.6

Multiplique $3$ por $- 3$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - 2 y^{2} + 3 y + 6 y - 9}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2.1.3.2

Some $3 y$ e $6 y$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - 2 y^{2} + 9 y - 9}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2.2

Combine os termos opostos em $y^{2} - 3 y + 9 - 2 y^{2} + 9 y - 9$ .

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Etapa 1.1.3.2.2.1

Subtraia $9$ de $9$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y - 2 y^{2} + 9 y + 0}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2.2.2

Some $y^{2} - 3 y - 2 y^{2} + 9 y$ e $0$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y - 2 y^{2} + 9 y}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2.3

Subtraia $2 y^{2}$ de $y^{2}$ .

$f' (y) = \frac{- y^{2} - 3 y + 9 y}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2.4

Some $- 3 y$ e $9 y$ .

$f' (y) = \frac{- y^{2} + 6 y}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.3

Fatore $y$ de $- y^{2} + 6 y$ .

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Etapa 1.1.3.3.1

Fatore $y$ de $- y^{2}$ .

$f' (y) = \frac{y (- y) + 6 y}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.3.2

Fatore $y$ de $6 y$ .

$f' (y) = \frac{y (- y) + y \cdot 6}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.3.3

Fatore $y$ de $y (- y) + y \cdot 6$ .

$f' (y) = \frac{y (- y + 6)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.4

Fatore $- 1$ de $- y$ .

$f' (y) = \frac{y (- (y) + 6)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.5

Reescreva $6$ como $- 1 (- 6)$ .

$f' (y) = \frac{y (- (y) - 1 \cdot - 6)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.6

Fatore $- 1$ de $- (y) - 1 (- 6)$ .

$f' (y) = \frac{y (- (y - 6))}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.7

Reescreva $- (y - 6)$ como $- 1 (y - 6)$ .

$f' (y) = \frac{y (- 1 (y - 6))}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (y) = - \frac{y (y - 6)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{y (y - 6)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$ .

$- \frac{y (y - 6)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{y (y - 6)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{y (y - 6)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$y (y - 6) = 0$

Etapa 2.3

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $y (y - 6)$ .

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Etapa 2.3.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y \cdot y + y \cdot - 6 = 0$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.1.2.1

Multiplique $y$ por $y$ .

$y^{2} + y \cdot - 6 = 0$

Etapa 2.3.1.2.2

Mova $- 6$ para a esquerda de $y$ .

$y^{2} - 6 y = 0$

Etapa 2.3.2

Fatore $y$ de $y^{2} - 6 y$ .

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Etapa 2.3.2.1

Fatore $y$ de $y^{2}$ .

$y \cdot y - 6 y = 0$

Etapa 2.3.2.2

Fatore $y$ de $- 6 y$ .

$y \cdot y + y \cdot - 6 = 0$

Etapa 2.3.2.3

Fatore $y$ de $y \cdot y + y \cdot - 6$ .

$y (y - 6) = 0$

Etapa 2.3.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$y = 0$

$y - 6 = 0$

Etapa 2.3.4

Defina $y$ como igual a $0$ .

$y = 0$

Etapa 2.3.5

Defina $y - 6$ como igual a $0$ e resolva para $y$ .

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Etapa 2.3.5.1

Defina $y - 6$ como igual a $0$ .

$y - 6 = 0$

Etapa 2.3.5.2

Some $6$ aos dois lados da equação.

$y = 6$

Etapa 2.3.6

A solução final são todos os valores que tornam $y (y - 6) = 0$ verdadeiro.

$y = 0, 6$

Etapa 3

Avalie $\frac{y - 3}{y^{2} - 3 y + 9}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 3.1

$\frac{y - 3}{y^{2} - 3 y + 9}$ is constant with respect to $x$ .

$\frac{y - 3}{y^{2} - 3 y + 9}$

Etapa 3.2

Liste todos os pontos.

$(0, \frac{y - 3}{y^{2} - 3 y + 9}), (6, \frac{y - 3}{y^{2} - 3 y + 9})$

Etapa 4