Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x + 2}{x - 1}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x + 2$ e $g (x) = x - 1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x + 2] - (x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) - (x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [2]) - (x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x - 1) (1 + 0) - (x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.2.4.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{(x - 1) \cdot 1 - (x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.4.2

Multiplique $x - 1$ por $1$ .

$\frac{x - 1 - (x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{x - 1 - (x + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x - 1 - (x + 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.7

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x - 1 - (x + 2) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.8

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.2.8.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{x - 1 - (x + 2) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.8.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{x - 1 - (x + 2)}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.3

Simplifique.

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Etapa 1.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x - 1 - x - 1 \cdot 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.3.2.1

Combine os termos opostos em $x - 1 - x - 1 \cdot 2$ .

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Etapa 1.1.3.2.1.1

Subtraia $x$ de $x$ .

$\frac{0 - 1 - 1 \cdot 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2.1.2

Subtraia $1$ de $0$ .

$\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{- 1 - 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2.3

Subtraia $2$ de $- 1$ .

$\frac{- 3}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{3}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{3}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$- \frac{3}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{3}{{(x - 1)}^{2}} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{3}{{(x - 1)}^{2}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$3 = 0$

Etapa 2.3

Como $3 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

Defina o denominador em $\frac{3}{{(x - 1)}^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

${(x - 1)}^{2} = 0$

Etapa 3.2

Resolva $x$ .

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Etapa 3.2.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 3.2.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 4

Avalie $\frac{x + 2}{x - 1}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = 1$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $1$ por $x$ .

$\frac{(1) + 2}{(1) - 1}$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{(1) + 2}{0}$

Etapa 4.1.2.2

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 5

Não há valores de $x$ no domínio do problema original, em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Nenhum ponto crítico encontrado