Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x + 2}{x^{2} - 3 x - 10}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x + 2$ e $g (x) = x^{2} - 3 x - 10$ .

$\frac{(x^{2} - 3 x - 10) \frac{d}{d x} [x + 2] - (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x - 10]}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{(x^{2} - 3 x - 10) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) - (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x - 10]}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} - 3 x - 10) (1 + \frac{d}{d x} [2]) - (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x - 10]}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x^{2} - 3 x - 10) (1 + 0) - (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x - 10]}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.4.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{(x^{2} - 3 x - 10) \cdot 1 - (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x - 10]}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.4.2

Multiplique $x^{2} - 3 x - 10$ por $1$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x - 10]}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 3 x - 10$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - (x + 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 10])}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - (x + 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 10])}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.7

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - (x + 2) (2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10])}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - (x + 2) (2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 10])}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.9

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - (x + 2) (2 x - 3 + \frac{d}{d x} [- 10])}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.10

Como $- 10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 10$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - (x + 2) (2 x - 3 + 0)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.11

Some $2 x - 3$ e $0$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - (x + 2) (2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Etapa 1.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 + (- x - 1 \cdot 2) (2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 + (- x - 2) (2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2.1.2

Expanda $(- x - 2) (2 x - 3)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - x (2 x - 3) - 2 (2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - x (2 x) - x \cdot - 3 - 2 (2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - x (2 x) - x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.2.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.2.1.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2.1.3.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.2.1.3.1.2.1

Mova $x$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - 1 \cdot 2 (x \cdot x) - x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2.1.3.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - 1 \cdot 2 x^{2} - x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2.1.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - 2 x^{2} - x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2.1.3.1.4

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - 2 x^{2} + 3 x - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2.1.3.1.5

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - 2 x^{2} + 3 x - 4 x - 2 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2.1.3.1.6

Multiplique $- 2$ por $- 3$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - 2 x^{2} + 3 x - 4 x + 6}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2.1.3.2

Subtraia $4 x$ de $3 x$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - 2 x^{2} - x + 6}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2.2

Subtraia $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} - 3 x - 10 - x + 6}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2.3

Subtraia $x$ de $- 3 x$ .

$\frac{- x^{2} - 4 x - 10 + 6}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2.4

Some $- 10$ e $6$ .

$\frac{- x^{2} - 4 x - 4}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.3

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.3.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot - 4 = 4$ e cuja soma é $b = - 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.3.1.1

Fatore $- 4$ de $- 4 x$ .

$\frac{- x^{2} - 4 (x) - 4}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.3.1.2

Reescreva $- 4$ como $- 2$ mais $- 2$

$\frac{- x^{2} + (- 2 - 2) x - 4}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- x^{2} - 2 x - 2 x - 4}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.3.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.3.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{(- x^{2} - 2 x) - 2 x - 4}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.3.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{x (- x - 2) + 2 (- x - 2)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.3.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- x - 2$ .

$\frac{(- x - 2) (x + 2)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.4

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.4.1

Fatore $x^{2} - 3 x - 10$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.4.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 10$ e cuja soma é $- 3$ .

$- 5, 2$

Etapa 1.1.3.4.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{(- x - 2) (x + 2)}{{((x - 5) (x + 2))}^{2}}$

Etapa 1.1.3.4.2

Aplique a regra do produto a $(x - 5) (x + 2)$ .

$\frac{(- x - 2) (x + 2)}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.5.1

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{(- (x) - 2) (x + 2)}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.5.2

Reescreva $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$\frac{(- (x) - 1 (2)) (x + 2)}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.5.3

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (2)$ .

$\frac{- (x + 2) (x + 2)}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.5.4

Reescreva $- (x + 2)$ como $- 1 (x + 2)$ .

$\frac{- 1 (x + 2) (x + 2)}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.5.5

Eleve $x + 2$ à potência de $1$ .

$\frac{- 1 ({(x + 2)}^{1} (x + 2))}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.5.6

Eleve $x + 2$ à potência de $1$ .

$\frac{- 1 ({(x + 2)}^{1} {(x + 2)}^{1})}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.5.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- 1 {(x + 2)}^{1 + 1}}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.5.8

Some $1$ e $1$ .

$\frac{- 1 {(x + 2)}^{2}}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.6

Cancele o fator comum de ${(x + 2)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1 {(x + 2)}^{2}}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.6.2

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{1}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{1}{{(x - 5)}^{2}}$ .

$- \frac{1}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{1}{{(x - 5)}^{2}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{1}{{(x - 5)}^{2}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$1 = 0$

Etapa 2.3

Como $1 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina o denominador em $\frac{1}{{(x - 5)}^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

${(x - 5)}^{2} = 0$

Etapa 3.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Defina $x - 5$ como igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Etapa 3.2.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$x = 5$

Etapa 4

Avalie $\frac{x + 2}{x^{2} - 3 x - 10}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Avalie em $x = 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua $5$ por $x$ .

$\frac{(5) + 2}{{(5)}^{2} - 3 \cdot 5 - 10}$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\frac{(5) + 2}{25 - 3 \cdot 5 - 10}$

Etapa 4.1.2.1.2

Multiplique $- 3$ por $5$ .

$\frac{(5) + 2}{25 - 15 - 10}$

Etapa 4.1.2.2

Simplifique subtraindo os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.2.1

Subtraia $15$ de $25$ .

$\frac{(5) + 2}{10 - 10}$

Etapa 4.1.2.2.2

Subtraia $10$ de $10$ .

$\frac{(5) + 2}{0}$

Etapa 4.1.2.2.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{(5) + 2}{0}$

Etapa 4.1.2.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 5

Não há valores de $x$ no domínio do problema original, em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Nenhum ponto crítico encontrado