Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{6} {(x - 3)}^{5}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{6}$ e $g (x) = {(x - 3)}^{5}$ .

$f' (x) = x^{6} \frac{d}{d x} ({(x - 3)}^{5}) + {(x - 3)}^{5} \frac{d}{d x} (x^{6})$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{5}$ e $g (x) = x - 3$ .

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Etapa 1.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 3$ .

$f' (x) = x^{6} (\frac{d}{d u} (u^{5}) \frac{d}{d x} (x - 3)) + {(x - 3)}^{5} \frac{d}{d x} (x^{6})$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$f' (x) = x^{6} (5 u^{4} \frac{d}{d x} (x - 3)) + {(x - 3)}^{5} \frac{d}{d x} (x^{6})$

Etapa 1.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 3$ .

$f' (x) = x^{6} (5 {(x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} (x - 3)) + {(x - 3)}^{5} \frac{d}{d x} (x^{6})$

Etapa 1.1.3

Diferencie.

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Etapa 1.1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f' (x) = x^{6} (5 {(x - 3)}^{4} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3))) + {(x - 3)}^{5} \frac{d}{d x} (x^{6})$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = x^{6} (5 {(x - 3)}^{4} (1 + \frac{d}{d x} (- 3))) + {(x - 3)}^{5} \frac{d}{d x} (x^{6})$

Etapa 1.1.3.3

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = x^{6} (5 {(x - 3)}^{4} (1 + 0)) + {(x - 3)}^{5} \frac{d}{d x} (x^{6})$

Etapa 1.1.3.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.3.4.1

Some $1$ e $0$ .

$f' (x) = x^{6} (5 {(x - 3)}^{4} \cdot 1) + {(x - 3)}^{5} \frac{d}{d x} (x^{6})$

Etapa 1.1.3.4.2

Multiplique $5$ por $1$ .

$f' (x) = x^{6} (5 {(x - 3)}^{4}) + {(x - 3)}^{5} \frac{d}{d x} (x^{6})$

Etapa 1.1.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 6$ .

$f' (x) = x^{6} (5 {(x - 3)}^{4}) + {(x - 3)}^{5} (6 x^{5})$

Etapa 1.1.3.6

Mova $6$ para a esquerda de ${(x - 3)}^{5}$ .

$f' (x) = x^{6} (5 {(x - 3)}^{4}) + 6 \cdot ({(x - 3)}^{5} x^{5})$

Etapa 1.1.4

Simplifique.

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Etapa 1.1.4.1

Fatore $x^{5} {(x - 3)}^{4}$ de $x^{6} (5 {(x - 3)}^{4}) + 6 {(x - 3)}^{5} x^{5}$ .

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Etapa 1.1.4.1.1

Fatore $x^{5} {(x - 3)}^{4}$ de $x^{6} (5 {(x - 3)}^{4})$ .

$f' (x) = x^{5} {(x - 3)}^{4} (x \cdot (5)) + 6 {(x - 3)}^{5} x^{5}$

Etapa 1.1.4.1.2

Fatore $x^{5} {(x - 3)}^{4}$ de $6 {(x - 3)}^{5} x^{5}$ .

$f' (x) = x^{5} {(x - 3)}^{4} (x \cdot (5)) + x^{5} {(x - 3)}^{4} (6 (x - 3))$

Etapa 1.1.4.1.3

Fatore $x^{5} {(x - 3)}^{4}$ de $x^{5} {(x - 3)}^{4} (x \cdot (5)) + x^{5} {(x - 3)}^{4} (6 (x - 3))$ .

$f' (x) = x^{5} {(x - 3)}^{4} (x \cdot (5) + 6 (x - 3))$

Etapa 1.1.4.2

Mova $5$ para a esquerda de $x$ .

$f' (x) = x^{5} {(x - 3)}^{4} (5 x + 6 (x - 3))$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $x^{5} {(x - 3)}^{4} (5 x + 6 (x - 3))$ .

$x^{5} {(x - 3)}^{4} (5 x + 6 (x - 3))$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $x^{5} {(x - 3)}^{4} (5 x + 6 (x - 3)) = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$x^{5} {(x - 3)}^{4} (5 x + 6 (x - 3)) = 0$

Etapa 2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{5} = 0$

${(x - 3)}^{4} = 0$

$5 x + 6 (x - 3) = 0$

Etapa 2.3

Defina $x^{5}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.3.1

Defina $x^{5}$ como igual a $0$ .

$x^{5} = 0$

Etapa 2.3.2

Resolva $x^{5} = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[5]{0}$

Etapa 2.3.2.2

Simplifique $\sqrt[5]{0}$ .

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Etapa 2.3.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{5}$ .

$x = \sqrt[5]{0^{5}}$

Etapa 2.3.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$x = 0$

Etapa 2.4

Defina ${(x - 3)}^{4}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina ${(x - 3)}^{4}$ como igual a $0$ .

${(x - 3)}^{4} = 0$

Etapa 2.4.2

Resolva ${(x - 3)}^{4} = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.4.2.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 2.4.2.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 2.5

Defina $5 x + 6 (x - 3)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $5 x + 6 (x - 3)$ como igual a $0$ .

$5 x + 6 (x - 3) = 0$

Etapa 2.5.2

Resolva $5 x + 6 (x - 3) = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.5.2.1

Simplifique $5 x + 6 (x - 3)$ .

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Etapa 2.5.2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.5.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$5 x + 6 x + 6 \cdot - 3 = 0$

Etapa 2.5.2.1.1.2

Multiplique $6$ por $- 3$ .

$5 x + 6 x - 18 = 0$

Etapa 2.5.2.1.2

Some $5 x$ e $6 x$ .

$11 x - 18 = 0$

Etapa 2.5.2.2

Some $18$ aos dois lados da equação.

$11 x = 18$

Etapa 2.5.2.3

Divida cada termo em $11 x = 18$ por $11$ e simplifique.

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Etapa 2.5.2.3.1

Divida cada termo em $11 x = 18$ por $11$ .

$\frac{11 x}{11} = \frac{18}{11}$

Etapa 2.5.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.5.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $11$ .

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Etapa 2.5.2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{11 x}{11} = \frac{18}{11}$

Etapa 2.5.2.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{18}{11}$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $x^{5} {(x - 3)}^{4} (5 x + 6 (x - 3)) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 3, \frac{18}{11}$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 4

Avalie $x^{6} {(x - 3)}^{5}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = 0$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

${(0)}^{6} {((0) - 3)}^{5}$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 {((0) - 3)}^{5}$

Etapa 4.1.2.2

Subtraia $3$ de $0$ .

$0 {(- 3)}^{5}$

Etapa 4.1.2.3

Eleve $- 3$ à potência de $5$ .

$0 \cdot - 243$

Etapa 4.1.2.4

Multiplique $0$ por $- 243$ .

$0$

Etapa 4.2

Avalie em $x = 3$ .

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Etapa 4.2.1

Substitua $3$ por $x$ .

${(3)}^{6} {((3) - 3)}^{5}$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

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Etapa 4.2.2.1

Eleve $3$ à potência de $6$ .

$729 {((3) - 3)}^{5}$

Etapa 4.2.2.2

Subtraia $3$ de $3$ .

$729 \cdot 0^{5}$

Etapa 4.2.2.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$729 \cdot 0$

Etapa 4.2.2.4

Multiplique $729$ por $0$ .

$0$

Etapa 4.3

Avalie em $x = \frac{18}{11}$ .

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Etapa 4.3.1

Substitua $\frac{18}{11}$ por $x$ .

${(\frac{18}{11})}^{6} {((\frac{18}{11}) - 3)}^{5}$

Etapa 4.3.2

Simplifique.

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Etapa 4.3.2.1

Aplique a regra do produto a $\frac{18}{11}$ .

$\frac{18^{6}}{11^{6}} {((\frac{18}{11}) - 3)}^{5}$

Etapa 4.3.2.2

Eleve $18$ à potência de $6$ .

$\frac{34012224}{11^{6}} {((\frac{18}{11}) - 3)}^{5}$

Etapa 4.3.2.3

Eleve $11$ à potência de $6$ .

$\frac{34012224}{1771561} {((\frac{18}{11}) - 3)}^{5}$

Etapa 4.3.2.4

Para escrever $- 3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{11}{11}$ .

$\frac{34012224}{1771561} {(\frac{18}{11} - 3 \cdot \frac{11}{11})}^{5}$

Etapa 4.3.2.5

Combine $- 3$ e $\frac{11}{11}$ .

$\frac{34012224}{1771561} {(\frac{18}{11} + \frac{- 3 \cdot 11}{11})}^{5}$

Etapa 4.3.2.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{34012224}{1771561} {(\frac{18 - 3 \cdot 11}{11})}^{5}$

Etapa 4.3.2.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.3.2.7.1

Multiplique $- 3$ por $11$ .

$\frac{34012224}{1771561} {(\frac{18 - 33}{11})}^{5}$

Etapa 4.3.2.7.2

Subtraia $33$ de $18$ .

$\frac{34012224}{1771561} {(\frac{- 15}{11})}^{5}$

Etapa 4.3.2.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{34012224}{1771561} {(- \frac{15}{11})}^{5}$

Etapa 4.3.2.9

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 4.3.2.9.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{15}{11}$ .

$\frac{34012224}{1771561} ({(- 1)}^{5} {(\frac{15}{11})}^{5})$

Etapa 4.3.2.9.2

Aplique a regra do produto a $\frac{15}{11}$ .

$\frac{34012224}{1771561} ({(- 1)}^{5} \frac{15^{5}}{11^{5}})$

Etapa 4.3.2.10

Eleve $- 1$ à potência de $5$ .

$\frac{34012224}{1771561} (- \frac{15^{5}}{11^{5}})$

Etapa 4.3.2.11

Eleve $15$ à potência de $5$ .

$\frac{34012224}{1771561} (- \frac{759375}{11^{5}})$

Etapa 4.3.2.12

Eleve $11$ à potência de $5$ .

$\frac{34012224}{1771561} (- \frac{759375}{161051})$

Etapa 4.3.2.13

Multiplique $\frac{34012224}{1771561} (- \frac{759375}{161051})$ .

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Etapa 4.3.2.13.1

Multiplique $\frac{34012224}{1771561}$ por $\frac{759375}{161051}$ .

$- \frac{34012224 \cdot 759375}{1771561 \cdot 161051}$

Etapa 4.3.2.13.2

Multiplique $34012224$ por $759375$ .

$- \frac{25828032600000}{1771561 \cdot 161051}$

Etapa 4.3.2.13.3

Multiplique $1771561$ por $161051$ .

$- \frac{25828032600000}{285311670611}$

Etapa 4.4

Liste todos os pontos.

$(0, 0), (3, 0), (\frac{18}{11}, - \frac{25828032600000}{285311670611})$

Etapa 5